24 Questões de Figuras geométricas espaciais: reconhecimento, representações, planificações e características

Recorte historico: Em 1822, ainda antes do Grito do Ipiranga, viajantes anotavam em cadernos a dificuldade de representar o Brasil em mapas planos. Em projeto recente, técnicos compararam a projeção cilíndrica de Mercator e a projeção cônica de Lambert. Na projeção de Mercator, a deformação linear varia segundo phi (latitude): em phi=30 graus, cada segmento se amplia por fator 1/cos(30 graus)˜1,155. Consequentemente, a distorção de área naquele paralelo é de aproximadamente 33%, pois a área projetada é cerca de 4/3 da real. A partir do texto-base, crie expressão algébrica que represente o fator de distorção de área em função da latitude phi na projeção cilíndrica de Mercator.

1. A) F(phi)=1/(cos(phi))
2. B) F(phi)=tan(phi)
3. C) F(phi)=cos(phi)^2
4. D) F(phi)=(1/cos(phi))^2
5. E) F(phi)=cos(phi)

Folhas secas cobrem a encosta de um antigo sítio arqueológico, onde escavações revelaram uma sequência de terraços escavados na rocha. Em cada nível subsequente, os arqueólogos encontraram fragmentos de cerâmica em quantidade três vezes maior que o do terraço imediatamente acima. No primeiro terraço, foram catalogados 4 fragmentos intactos. Esses dados foram registrados em um relatório de campo para análise do padrão de dispersão dos fragmentos. Interprete o texto e identifique a expressão que fornece o número de fragmentos de cerâmica no n-ésimo terraço.

1. A) 4 + (n - 1) * 3
2. B) 4 * 3^n
3. C) 4 * 3 * n
4. D) 4 * 3^(n - 1)
5. E) 4 * n^3

Analistas de segurança acompanham o avanço de um malware que infecta sistemas em rede. No primeiro dia, 50 computadores foram comprometidos. A cada dia subsequente, o número de sistemas infectados cresce multiplicado por 1,8 em relação ao dia anterior. Os dados coletados estão resumidos a seguir: Dia 1: 50 Dia 2: 50 × 1,8 Dia 3: 50 × (1,8)^2 Dia 4: 50 × (1,8)^3 Esses valores configuram uma progressão geométrica cujo termo geral pode ser associado a uma função exponencial de domínio discreto. Identifique a expressão que representa o número de sistemas infectados pelo malware no dia n.

1. A) 50 + 1,8^(n–1)
2. B) 50 × (1,8)^(n–1)
3. C) 50 × (1,8)^n
4. D) 50 × (n–1)^(1,8)
5. E) 50 × 1,8·(n–1)

Por que mapas baseados na projeção de Mercator exageram o tamanho de regiões próximas aos polos? Em cartografia, na projeção cilíndrica de Mercator, a escala linear em latitude f é dada por 1/cos(f). Dessa forma, um país situado a 60° de latitude norte, cuja área real é 10 000 km2, terá sua área representada no mapa aumentada pelo quadrado do fator de escala: area_distorsao=(1/cos(60°))^2. Calcule a área aproximada, em km2, de um país a 60° de latitude norte mostrado em mapa de Mercator, considerando sua área real de 10 000 km2.

1. A) 40000 km2
2. B) 5000 km2
3. C) 160000 km2
4. D) 10000 km2
5. E) 20000 km2

Em um estudo sobre mapas de uma faixa do território brasileiro localizada entre as latitudes de 30°S e 60°S, foram analisadas cinco projeções cartográficas: a cilíndrica de Mercator, a cônica conforme de Lambert, a cônica equivalente de Albers, a azimutal equidistante e a cilíndrica equivalente de Peters. Para a comparação solicitada, entretanto, os pesquisadores consideraram exclusivamente as duas primeiras. Na projeção de Mercator, o fator de escala linear na latitude f é dado por sec f, o que amplia progressivamente as áreas representadas à medida que se aumenta a latitude. Na projeção cônica conforme de Lambert utilizada no estudo, as escalas meridional e paralela foram ajustadas para assumir o valor 1 na latitude de 45°S. Com base no texto, entre as duas projeções efetivamente comparadas pelos pesquisadores, qual apresenta menor deformação de áreas na latitude de 45°S?

1. A) Projeção cilíndrica equivalente de Peters
2. B) Projeção cilíndrica de Mercator
3. C) Projeção azimutal equidistante
4. D) Projeção cônica conforme de Lambert
5. E) Projeção cônica equivalente de Albers

Ao traçar rotas marítimas em latitudes elevadas, navegadores recorrem à projeção de Mercator, valorizada pela preservação de ângulos. No entanto, essa projeção introduz distorções de escala. Em cada latitude, o fator linear de escala é igual a 1/cos(phi), onde phi é a latitude. Assim, o fator de distorção de área é o quadrado desse valor. Por exemplo, uma região real de 100000 km2 situada a 60 graus de latitude usará um fator de distorção de área igual a (1/cos 60°)^2. Calcule a área representada na carta de Mercator, em km2, de uma região real de 100000 km2 situada a 60 graus de latitude.

1. A) 200000 km2
2. B) 250000 km2
3. C) 100000 km2
4. D) 500000 km2
5. E) 400000 km2