Atividades sobre Competências da área (1ª série, 2ª série, 3ª série) com gabarito — 1ª série, 2ª série, 3ª série, ENEM, FUVEST, UEL, UNESP (EM13MAT509)

Quando recebo EM13MAT509 no planejamento, meu primeiro desafio é não deixá-la virar uma aula solta de Geografia nem uma lista de fórmulas de trigonometria. Afinal, o que eu preciso fazer com a turma é usar a Matemática para enxergar um problema concreto: todo mapa plano altera alguma característica da Terra.

Na prática, eu parto de mapas que os estudantes já conhecem e da pergunta que costuma provocar debate: por que países próximos aos polos parecem tão grandes? A partir daí, consigo levar a conversa para escalas, áreas, ângulos e escolhas de representação, preparando também uma avaliação coerente com a habilidade.

O que a habilidade EM13MAT509 pede, de verdade?

A habilidade pede que o estudante investigue, compare e justifique as deformações produzidas quando uma superfície curva, a Terra, é representada num plano. Em sala, isso significa ir além de decorar que Mercator “aumenta os polos” ou que uma projeção é “melhor”: a turma precisa observar dados, calcular fatores de escala quando forem fornecidos e relacionar a escolha da projeção à finalidade do mapa. Se o objetivo é comparar áreas de biomas, por exemplo, a conservação de áreas pesa mais; se a prioridade são direções e ângulos para navegação, outra propriedade entra em jogo. Também espero que os alunos reconheçam que preservar uma grandeza costuma implicar deformar outra. A investigação pode acontecer com mapas impressos, atlas, globo, calculadora ou recursos digitais, mas o centro da habilidade é argumentar com evidências sobre ângulos e áreas, não apenas identificar nomes de projeções.

“Investigar a deformação de ângulos e áreas provocada pelas diferentes projeções usadas em cartografia (como a cilíndrica e a cônica), com ou sem suporte de tecnologia digital.”

Vale consultar o enunciado completo e o banco alinhado na consulta completa do código EM13MAT509. No acervo do GeraProva, há 77 questões vinculadas a essa habilidade.

Como trabalhar EM13MAT509 em sala?

1. Comparação visual antes da conta. Eu levo um globo ou uma imagem da Terra e dois mapas-múndi de projeções distintas. Peço que os grupos observem Groenlândia, Brasil, África e Antártica: quais tamanhos parecem mudar? Depois, eles registram hipóteses. Essa etapa evita que a fórmula apareça sem sentido.

2. Mapa com missão definida. Proponho situações simples: mapear rotas marítimas, comparar áreas de desmatamento ou representar distâncias a partir de uma capital. Cada grupo escolhe qual propriedade deveria ser priorizada — áreas, ângulos ou distâncias — e defende sua decisão. Não é necessário laboratório: imagens impressas ou projetadas resolvem.

3. Investigação com latitudes. Com uma tabela de valores de cosseno, trabalho a expressão da Mercator: fator linear igual a 1/cos(φ) e fator de área igual a 1/[cos(φ)]². Comparar 0°, 30° e 60° deixa evidente que a distorção não é uniforme.

4. Leitura crítica de manchetes e infográficos. Peço que a turma procure um mapa em livro, site ou jornal e responda: qual é a finalidade aparente? Há indicação de projeção? Que interpretação pode ser enganosa? É uma atividade curta que aproxima Matemática do uso cotidiano de imagens.

Como avaliar essa habilidade?

Uma boa questão de EM13MAT509 apresenta uma situação cartográfica e exige que o estudante relacione dados à propriedade que se deseja preservar. Ela pode pedir comparação de razões entre áreas, cálculo de distorção em uma latitude ou escolha justificada de projeção para um objetivo concreto. Não basta perguntar o nome de Mercator ou Albers de memória.

Eu evito dois erros comuns. O primeiro é cobrar apenas a fórmula, sem discutir o significado do resultado: se a área foi multiplicada por 4, o aluno precisa concluir que ela aparece quatro vezes maior no mapa. O segundo é tratar uma projeção como universalmente correta. A pergunta central deve ser sempre: correta para qual finalidade? Também observo se o estudante confunde escala linear com deformação de área, que é quadrática nos exemplos de Mercator.

Questões prontas de EM13MAT509 (com gabarito comentado)

1. Em uma oficina de cartografia, estudantes compararam projeções e obtiveram razões área desenhada/área real de 1,00; 2,10; 10,80 para Mercator; 0,80; 0,80; 0,80 para Albers; 0,78; 0,80; 0,94 para Lambert; 0,70; 0,90; 1,20 para a cilíndrica equidistante; e 0,85; 1,10; 1,60 para a azimutal estereográfica. Qual mantém a mesma proporção entre áreas, mesmo com escala diferente de 1?

• ❌ A) Mercator: as razões variam muito, logo as áreas sofrem deformação desigual.
• ❌ B) Cônica de Lambert: conservar ângulos localmente não significa conservar áreas; as razões variam.
• ❌ C) Azimutal estereográfica: os valores 0,85, 1,10 e 1,60 não mantêm uma proporção única.
• ❌ D) Cilíndrica equidistante: preservar certas distâncias não conserva as áreas.
• ✅ E) Cônica de Albers: a razão 0,80 é constante; todas as áreas são reduzidas pelo mesmo fator.

2. Uma equipe precisa comparar áreas de vegetação entre 30° S e 50° S. Os maiores erros relativos de área foram: estereográfica 12%, cônica equivalente de Albers 0,4%, Mercator 32%, azimutal equidistante 9% e conforme de Lambert 18%. Qual projeção deve escolher?

• ✅ A) Cônica equivalente de Albers: tem o menor erro de área, 0,4%, e atende ao objetivo de comparar superfícies.
• ❌ B) Estereográfica: seu erro de 12% é maior que o da alternativa correta.
• ❌ C) Azimutal equidistante: prioriza distâncias, enquanto o enunciado prioriza áreas.
• ❌ D) Mercator: apresenta o maior erro relativo de área, 32%.
• ❌ E) Conforme de Lambert: preservar ângulos não resolve a comparação de áreas; o erro é 18%.

3. Na projeção de Mercator, o fator linear em uma latitude φ é 1/cos(φ), e a distorção de área é o quadrado desse fator. Em 60°, cos(60°)=0,5. Qual é o fator de distorção da área?

• ❌ A) 1/2 vez menor: usa o cosseno diretamente, sem tomar o inverso e o quadrado.
• ❌ B) Raiz quadrada de 2 vezes maior: não corresponde ao fator de área.
• ✅ C) 4 vezes maior: o fator linear é 1/0,5=2; então a área é multiplicada por 2²=4.
• ❌ D) 2 vezes maior: confunde a escala linear com a deformação de área.
• ❌ E) 1,5 vezes maior: não decorre da fórmula fornecida.

4. Em 60°, uma projeção conforme do tipo Mercator tem fator linear k=1/cos(f), enquanto uma cilíndrica equivalente tem kx=1/cos(f) e ky=cos(f), com fator de área kA=1. Qual comparação está correta?

• ❌ A) A conforme duplica e a equivalente reduz à metade: a conforme quadruplica e a equivalente preserva.
• ❌ B) A conforme quadruplica e a equivalente duplica: a equivalente tem fator de área igual a 1.
• ✅ C) Na conforme, a área aparece quatro vezes maior; na equivalente, não há deformação de área.
• ❌ D) A conforme reduz à metade e a equivalente quadruplica: os efeitos foram invertidos.
• ❌ E) Ambas preservam área: somente a equivalente o faz.

5. Duas ilhas de mesma área real estão em 30° S e 60° S. Em Mercator, a área é multiplicada por 1/cos²(lat). Qual é a razão entre a área projetada da ilha de 60° S e a de 30° S?

• ❌ A) 4:1: considera apenas o fator de 60° S e ignora o de 30° S.
• ❌ B) 1:1: desconsidera que a distorção depende da latitude.
• ❌ C) 1,732:1: usa uma raiz indevida em vez da razão dos fatores.
• ❌ D) 2:1: confunde fator linear com fator de área.
• ✅ E) 3:1: em 60° o fator é 4; em 30°, aproximadamente 1,333; 4/1,333=3.

6. Na projeção de Mercator, a distorção de área cresce como 1/[cos(φ)]². Duas regiões têm igual área real: A está no equador e B está em 60°. Qual é o fator de distorção de B em relação a A?

• ❌ A) 1,5 vezes: não é obtido pela fórmula.
• ❌ B) 0,25 vezes: inverte o fator e sugere redução, não aumento.
• ✅ C) 4 vezes: cos(60°)=0,5 e 1/(0,5)²=4.
• ❌ D) 1 vez: ignora a variação da escala com a latitude.
• ❌ E) 2 vezes: corresponde ao fator linear, não ao fator de área.

Próximos passos

Depois dessas atividades, eu recomendo misturar questões conceituais e cálculos curtos em uma mesma avaliação. Assim, a turma percebe que a conta explica uma escolha real de representação. Para montar versões diferentes, filtrar por habilidade e ganhar tempo na correção, vale conhecer o gerador de provas do GeraProva e fazer o cadastro grátis.

Use estas questões como ponto de partida e adapte o contexto à sua turma. Com exemplos visuais, discussão e cálculo, EM13MAT509 deixa de ser um código no planejamento e vira uma aula que os estudantes conseguem enxergar no mapa.