Recorte historico: Em 1822, ainda antes do Grito do Ipiranga, viajantes anotavam em cadernos a dificuldade de…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Investigar a deformação de ângulos e áreas provocada pelas diferentes projeções usadas em cartografia (como a cilíndrica e a cônica), com ou sem suporte de tecnologia digital.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Recorte historico: Em 1822, ainda antes do Grito do Ipiranga, viajantes anotavam em cadernos a dificuldade de representar o Brasil em mapas planos. Em projeto recente, técnicos compararam a projeção cilíndrica de Mercator e a projeção cônica de Lambert. Na projeção de Mercator, a deformação linear varia segundo phi (latitude): em phi=30 graus, cada segmento se amplia por fator 1/cos(30 graus)˜1,155. Consequentemente, a distorção de área naquele paralelo é de aproximadamente 33%, pois a área projetada é cerca de 4/3 da real. A partir do texto-base, crie expressão algébrica que represente o fator de distorção de área em função da latitude phi na projeção cilíndrica de Mercator.
- A) F(phi)=1/(cos(phi))
- B) F(phi)=tan(phi)
- C) F(phi)=cos(phi)^2
- D) F(phi)=(1/cos(phi))^2
- E) F(phi)=cos(phi)
✅ Resposta correta: alternativa D
Resolução passo a passo
- O texto informa que, na projeção de Mercator, o fator linear em uma latitude phi é 1/cos(phi). Para phi=30 graus, esse fator vale 1/cos(30 graus), cerca de 1,155, como indicado no enunciado.
- A projeção de Mercator é conforme, ou seja, preserva os ângulos e amplia comprimentos e larguras pelo mesmo fator em cada ponto. Assim, a área de um pequeno retângulo é multiplicada pelo produto de dois fatores lineares iguais: (1/cos(phi)) * (1/cos(phi)) = (1/cos(phi))^2.
- Verificação numérica: para phi=30 graus, (1/cos(30 graus))^2 = 1/(3/4) = 4/3, cerca de 1,333. Isso corresponde à distorção de área de aproximadamente 33% citada no texto.
- Portanto, a expressão que representa o fator de distorção de área em função da latitude é F(phi)=(1/cos(phi))^2, alternativa D, que coincide com o gabarito oficial.
- Por que as outras estão erradas: a alternativa A dá apenas o fator linear (1,155 em 30 graus), e não o fator de área; a alternativa B, tan(phi), vale cerca de 0,577 em 30 graus; a alternativa C, cos(phi)^2, vale 0,75, que é o inverso do fator correto; a alternativa E, cos(phi), vale cerca de 0,866, também o inverso do fator linear.
💡 Dica: Use a relação entre fator linear e área para montar a expressão algébrica.
Alternativa por alternativa
Confunde o fator de distorção de área com o fator linear: percebe que a ampliação é 1/cos(phi), mas não eleva ao quadrado, esquecendo que a área depende de dois comprimentos.
Por que engana: Confundir fator linear com fator de área, usando 1/cos(phi) ao invés de seu quadrado.
Associa a deformação da projeção a uma função trigonométrica que cresce com a latitude, como a tangente, sem relacionar a ampliação ao inverso do cosseno.
Inverte a relação e usa cos(phi)^2 como fator, achando que a área diminui com a latitude, quando na verdade ela é ampliada pelo inverso do cosseno ao quadrado.
O fator de área é o quadrado do fator linear 1/cos(phi), conforme o exemplo de 4/3 em phi=30 graus.
Usa o próprio cosseno como fator de distorção, pela intuição de que o paralelo 'encolhe' com a latitude, sem perceber que a projeção amplia as distâncias pelo inverso do cosseno.
Raio-X da questão
distorção área projeção Mercator
avaliacao
funções trigonométricas básicas · propriedades de funções quadráticas
Estude funções trigonométricas e relação entre fator linear e área.
Confundir fator linear com fator de área, usando 1/cos(phi) ao invés de seu quadrado.
pensamento_critico
historico
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