Necessidade dos números reais para medir qualquer segmento de reta Números irracionais: reconhecimento e localização de alguns na reta numérica
93 questões
93 Questões de Necessidade dos números reais para medir qualquer segmento de reta Números irracionais: reconhecimento e localização de alguns na reta numérica
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para ENEM e alinhadas à BNCC.
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Sobre estas questões de Necessidade dos números reais para medir qualquer segmento de reta Números irracionais: reconhecimento e localização de alguns na reta numérica
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O que estas questões cobram: triângulo retângulo; soma de números irracionais; número irracional; altura de triângulo.
🎯 Tipos de raciocínio exigidos: Dedutivo, Crítico, Indutivo
Como usar: professores podem aplicar estas questões diretamente em avaliações, usar como material de apoio em aula, ou gerar uma prova personalizada com o GeraProva escolhendo dificuldade, quantidade e formato. Alunos podem usar para revisão ativa, praticando a resolução antes de ver o gabarito comentado.
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Em uma atividade de planejamento de uma rota acessível, uma equipe representou dois trechos retos de uma calçada em uma maquete. No modelo matemático adotado, o primeiro trecho mede 1/v2 metro e o segundo mede v3 metros. Para obter o comprimento total da rota formada por esses dois trechos, é necessário somar essas medidas e apresentar o resultado na forma exata, sem aproximações decimais.
Com base nas medidas informadas no texto, qual é o comprimento total, em metro, dos dois trechos da rota?
A) (1 + √3)/√2
B) √(7/2)
C) 3 + √2/2
D) (√2 + 2√3)/2
E) (√2 + √3)/2
📖 Análise pedagógica e resolução comentada
🎯 Conceito central
soma de números irracionais
💡 Dica de resolução
Realize a soma dos números irracionais apresentados.
✅ Resposta correta: D
O comprimento total é 1/√2 + √3. Racionalizando o primeiro termo, 1/√2 = √2/2. Assim, a soma é √2/2 + √3 = √2/2 + 2√3/2 = (√2 + 2√3)/2.
Por que as outras alternativas estão erradas:
❌ A)Esse resultado surge ao colocar √2 como denominador comum sem multiplicar corretamente o termo √3. Para transformar √3 em uma fração de denominador √2, seria necessário escrever √3 = √6/√2, e não √3/√2.
❌ B)Esse resultado surge ao colocar os dois termos sob uma única raiz e somar os radicandos, procedimento que não é válido para uma soma de raízes. A propriedade √a + √b = √(a+b) não vale, em geral.
❌ C)Esse resultado surge ao substituir √3 por 3, confundindo a raiz quadrada de 3 com o próprio número 3. O termo 1/√2 foi racionalizado corretamente.
❌ E)Esse resultado surge ao dividir indevidamente o termo √3 por 2 ao colocar os termos no mesmo denominador. Embora 1/√2 seja igual a √2/2, o termo √3 já está inteiro e deve ser escrito como 2√3/2.
Em uma atividade de Matemática aplicada à construção civil, uma equipe precisa fabricar uma placa quadrada com área exatamente igual a 3 m². Se L representa a medida, em metros, do lado dessa placa, então L² = 3 e, como L é positivo, L = v3.
Com base nessa situação, determine se o número v3, que representa a medida do lado da placa, é racional ou irracional.
A) Inteiro.
B) Racional.
C) Natural.
D) Decimal periódico.
E) Irracional.
📖 Análise pedagógica e resolução comentada
🎯 Conceito central
número irracional
💡 Dica de resolução
Considere a definição de números racionais e irracionais.
✅ Resposta correta: E
O número √3 é irracional. Se fosse racional, poderia ser escrito como uma fração irredutível p/q, com q diferente de zero. De √3 = p/q, obteríamos p² = 3q². Isso implica que 3 divide p; escrevendo p = 3k, resulta q² = 3k², de modo que 3 também divide q. Isso contradiz o fato de p/q ser irredutível. Portanto, √3 não pode ser representado como uma fração de números inteiros e é irracional.
Por que as outras alternativas estão erradas:
❌ A)Esse erro consiste em concluir que o resultado de uma raiz quadrada de número inteiro sempre pertence ao conjunto dos inteiros. Como 3 não é um quadrado perfeito, √3 não é inteiro.
❌ B)Esse erro resulta de supor que toda raiz quadrada de um número inteiro é racional ou de confundir √3 com uma raiz exata, como √4.
❌ C)Esse erro decorre de considerar que uma medida positiva deve ser necessariamente um número natural. A positividade de √3 não implica que ele seja inteiro ou natural.
❌ D)Esse erro confunde a representação decimal periódica com uma representação não terminante qualquer. Todo decimal periódico é racional, enquanto √3 possui representação decimal não periódica.
📚 Reveja antes de resolver
Revisar as propriedades dos números racionais e irracionais.
Uma escada tem 5 metros de comprimento e forma um ângulo de 60° com o solo. Qual é a altura máxima que a escada pode atingir na parede? Calcule o valor aproximado e determine se ele é racional ou irracional.
A) 5 metros
B) 2,5 metros
C) 5v3/2 metros
D) 3 metros
E) 4,5 metros
📖 Análise pedagógica e resolução comentada
🎯 Conceito central
altura de um triângulo
💡 Dica de resolução
Utilize a função seno para calcular a altura.
✅ Resposta correta: C
5v3/2 é irracional, pois v3 não é racional.
Por que as outras alternativas estão erradas:
❌ A)5 metros é um número racional.
❌ B)2,5 metros também é um número racional.
❌ D)3 metros é um número racional.
❌ E)4,5 metros é racional.
📚 Reveja antes de resolver
Revisar as relações trigonométricas em triângulos retângulos.
As questões desta página desenvolvem as seguintes habilidades da Base Nacional Comum Curricular:
EM13MAT201Propor ou participar de ações adequadas às demandas da região, preferencialmente para sua comunidade, envolvendo medições e cálculos de perímetro, de área, de volume, de capacidade ou de massa.
EM13MAT308Aplicar as relações métricas, incluindo as leis do seno e do cosseno ou as noções de congruência e semelhança, para resolver e elaborar problemas que envolvem triângulos, em variados contextos.
EM13MAT316Resolver e elaborar problemas, em diferentes contextos, que envolvem cálculo e interpretação das medidas de tendência central (média, moda, mediana) e das medidas de dispersão (amplitude, variância e desvio padrão).
EM13MAT501Investigar relações entre números expressos em tabelas para representá-los no plano cartesiano, identificando padrões e criando conjecturas para generalizar e expressar algebricamente essa generalização, reconhecendo quando essa representação é de função polinomial de 1º grau.
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Perguntas frequentes
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