Em uma atividade de Matemática aplicada à construção civil, uma equipe precisa fabricar uma placa quadrada com…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Investigar relações entre números expressos em tabelas para representá-los no plano cartesiano, identificando padrões e criando conjecturas para generalizar e expressar algebricamente essa generalização, reconhecendo quando essa representação é de função polinomial de 1º grau.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Em uma atividade de Matemática aplicada à construção civil, uma equipe precisa fabricar uma placa quadrada com área exatamente igual a 3 m². Se L representa a medida, em metros, do lado dessa placa, então L² = 3 e, como L é positivo, L = v3. Com base nessa situação, determine se o número v3, que representa a medida do lado da placa, é racional ou irracional.
- A) Inteiro.
- B) Racional.
- C) Natural.
- D) Decimal periódico.
- E) Irracional.
✅ Resposta correta: alternativa E
Resolução passo a passo
- A questão pede para classificar o número v3 (raiz quadrada de 3), que é a medida do lado da placa, como racional ou irracional.
- Um número é racional quando pode ser escrito na forma p/q, com p e q inteiros e q diferente de zero. Sua representação decimal é finita ou periódica.
- Um número é irracional quando não pode ser escrito dessa forma; sua representação decimal é infinita e não periódica.
- Suponha, por absurdo, que v3 = p/q com p/q em forma irredutível. Então 3 = p^2/q^2, ou seja, p^2 = 3q^2. Logo p^2 é múltiplo de 3, o que implica que p também é múltiplo de 3. Escrevendo p = 3k, obtemos 9k^2 = 3q^2, isto é, q^2 = 3k^2, e então q também seria múltiplo de 3. Isso contradiz p/q irredutível. Portanto v3 não é racional.
- Como v3 é real e não é racional, ele é irracional. Aproximadamente, v3 = 1,7320508... com infinitas casas decimais não periódicas.
- Analisando as alternativas erradas: A) Inteiro está errada, pois v3 não é inteiro, já que está entre 1 e 2. B) Racional está errada, pois, como demonstrado, v3 não pode ser escrito como fração. C) Natural está errada, pois os naturais são inteiros positivos e v3 não é inteiro. D) Decimal periódico está errada, pois a expansão decimal de v3 não se repete periodicamente.
- Conclusão: v3 é irracional, alternativa E, de acordo com o gabarito oficial.
💡 Dica: Considere a definição de números racionais e irracionais.
Alternativa por alternativa
O aluno confunde número com raiz exata e supõe que, por ser a raiz de um número inteiro, o resultado também deve ser inteiro. Não percebe que 1^2 = 1 e 2^2 = 4 ficam de um lado e de outro de 3, sem nenhum inteiro que eleve ao quadrado exatamente 3.
O aluno acredita que todo número que aparece como resultado de uma raiz, ou que pode ser aproximado por decimais, é racional. Não sabe que a raiz de 3 não é exata e que os racionais são exatamente os números expressáveis como fração.
O aluno confunde racional com natural, achando que os números não negativos com parte decimal pertencem ao conjunto dos naturais. Os naturais são inteiros positivos e v3 não é inteiro.
O aluno associa números com casas decimais infinitas a dízimas periódicas, sem verificar se há repetição de um padrão. Como a expansão de v3 não tem período, a alternativa é falsa.
O número √3 é irracional. Se fosse racional, poderia ser escrito como uma fração irredutível p/q, com q diferente de zero. De √3 = p/q, obteríamos p² = 3q². Isso implica que 3 divide p; escrevendo p = 3k, resulta q² = 3k², de modo que 3 também divide q. Isso contradiz o fato de p/q ser irredutível. Portanto, √3 não pode ser representado como uma fração de números inteiros e é irracional.
Raio-X da questão
número irracional
avaliacao
definicao de numero racional · propriedades dos numeros irracionais
Revisar as propriedades dos números racionais e irracionais.
Confundir numeros irracionais com decimais periodicos, considerando que toda decimal infinita e periodica e racional.
tomada_decisao
abstrato
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