Questões dissertativas de Matemática — Ensino Fundamental
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
6.996 questões com resposta esperada, explicação e raio-X pedagógico, alinhadas à BNCC.
✍️ Dissertativa
Considere a sequência (a_n) definida por a_1 = 13 e, para n = 1, a_{n+1} = v(a_n² + 12²). (a) Prove, por indução, que a_n = v(13² + 12²(n-1)) para todo n?N*. (b) Calcule a_4.
✍️ Dissertativa
Considere a sequência (h_n) definida por h_1 = 13 e, para n = 1, h_{n+1} = v(h_n² + 20²). (a) Prove por indução que h_n² = 169 + 400(n-1). (b) Deduza uma fórmula fechada para h_n.
✍️ Dissertativa
(Dissertativa) Em um triângulo retângulo ABC com ângulo reto em C, traça-se a altura CD sobre a hipotenusa AB. Denote p = AD e q = DB. a) Demonstre que AC² = AB·p, BC² = AB·q e CD² = p·q usando semelhança de triângulos…
✍️ Dissertativa
Num retângulo ABCD com AB = 12 m e BC = 9 m, seja E ponto em AB tal que AE = x. Traça-se EF paralela a BC até intersectar a diagonal AC no ponto F. Sabendo que AF = 8 m, determine x e justifique os passos.
✍️ Dissertativa
Considere a sequência (h_n) definida por h_n = v((n+1)² + (2n)²), n?N*. (a) Mostre que (h_n) é estritamente crescente para n=1. (b) Calcule h_3 e interprete geometricamente h_n.
✍️ Dissertativa
Defina a sequência (a_n) por a_1 = 5 e, para n = 1, a_{n+1} = v(a_n² + 6²). (a) Prove que a_n² = 25 + 36(n-1). (b) Use essa fórmula para calcular a_5.
✍️ Dissertativa
Considere a sequência (a_n) definida por a_1 = 5 e, para n = 1, a_{n+1} = v(a_n² + 2²), isto é, a_{n+1} é a hipotenusa do triângulo retângulo com catetos a_n e 2. (a) Escreva a relação de recorrência e calcule a_1, a_2…
✍️ Dissertativa
Uma rampa deve ligar o topo de um muro de altura 2,5 m a um ponto no solo a 6 m da base do muro. A norma exige inclinação máxima de 1:6 (altura:base). É aceitável inclinar a rampa diretamente dos dois pontos indicados?…
✍️ Dissertativa
Num triângulo retângulo ABC com ângulo reto em C, tem-se AC = 9 m e hipotenusa AB = 15 m. Traça-se o segmento DE paralelo a AB interceptando AC em D e BC em E, com CE = 3 m. Determine: (a) BC; (b) a razão de semelhança…
✍️ Dissertativa
Uma escada de comprimento 10 m encosta numa parede; a distância da base à parede é d e a altura alcançada é h, com h²+d²=100. Ao afastar a base 6 m, a altura diminui 8 m. Determine h e d.
✍️ Dissertativa
Duas retas paralelas r e s são cortadas por duas transversais t1 e t2. Entre r e s, o segmento na t1 mede 4 m e o segmento na t2 mede 6 m. Sobre t1 constrói-se um triângulo retângulo cuja base sobre r mede 8 m e cuja…
✍️ Dissertativa
No triângulo ABC, o ângulo reto é em C. Seja D ponto de AC tal que AD = 3 cm e DC = 6 cm. Traça-se DE paralela a BC, com E em AB, e observa-se AE = 5 cm e EB = 10 cm. Usando relações de proporcionalidade entre retas…
✍️ Dissertativa
Duas retas paralelas r e s são cortadas por duas transversais t1 e t2. A distância entre r e s medida ao longo de t1 é 12 cm; ao longo de t2 é 7,5 cm. Em t1 marque-se o ponto A a 4 cm de r (no sentido de r para s)…
✍️ Dissertativa
Considere a sequência (a_n) das hipotenusas de triângulos retângulos cujos catetos medem 3n e 4, para n?N*. (a) Determine a fórmula fechada de a_n. (b) Apresente uma relação recursiva entre a_{n+1} e a_n. (c) Calcule a_5…
✍️ Dissertativa
Num triângulo retângulo ABC com ângulo reto em C, a hipotenusa AB mede 25. A partir de C traça-se a altura CD até AB, que divide AB em AD = 9 e DB = ?; determine DB e a medida da altura CD.
✍️ Dissertativa
Dois postes verticais e paralelos, P1 e P2, estão sobre o mesmo terreno plano. No mesmo instante as sombras medem S1 = 4,0 m e S2 = 6,0 m. Se a altura de P1 é H1 = 3,0 m, construa e resolva a equação para determinar a…
✍️ Dissertativa
Duas retas paralelas l1 e l2 estão separadas por 5 m. A partir de um ponto P sobre l1 desenham-se os segmentos PA e PB até dois pontos A e B distintos em l2, com PA = 13 m e PB = 17 m. Determine a distância AB medida…
✍️ Dissertativa
No triângulo retângulo ABC o ângulo reto é em B. Seja AB = x+1, BC = 2x-3 e hipotenusa AC = 13. Determine todos os valores de x que satisfazem a relação e indique a solução viável para as medidas dos catetos.
✍️ Dissertativa
No triângulo retângulo ABC o ângulo reto é em C. Considere AC = 9 m e BC = 12 m. Seja D ponto em AC tal que CD = 5 m (medido a partir de C). A reta por D paralela a BC intercepta a hipotenusa AB em E. Determine as…
✍️ Dissertativa
(Dissertativa) Em um triângulo retângulo ABC com ângulo reto em B, a altura BD é traçada até a hipotenusa AC, encontrando AC em D. Prove que AB² = AD·AC e BC² = DC·AC e, em seguida, aplique essas relações para calcular…
✍️ Dissertativa
Proponha um algoritmo (descrito em passos) que, dados três comprimentos positivos a, b, c, verifique se formam um triângulo retângulo; se sim, calcule a área. Em seguida, execute o algoritmo para (a,b,c) = (13, 5, 12).
✍️ Dissertativa
Elabore um fluxograma que, dados b (distância da base ao muro, em m) e r (comprimento da rampa/hipotenusa, em m), calcule a altura h alcançada na parede usando Pitágoras e verifique se h = 2,50 m. Inclua validação (r>b)…
✍️ Dissertativa
Seção transversal de um telhado de duas águas forma um triângulo isósceles: a largura interna é 16 m. Cada ripa (hipotenusa) mede 9 m e liga a cumeeira ao beiral; na seção, a metade da largura é um cateto de 8 m…
✍️ Dissertativa
No triângulo retângulo ABC, com Ângulo reto em B, tem-se AB = x cm e BC = x+3 cm. Sabendo que a área do triângulo é 20 cm², determine o comprimento da hipotenusa AC.
✍️ Dissertativa
Um projetista precisa dimensionar uma rampa que atinge um ponto B numa parede a 2,50 m de altura. A rampa forma com o solo um ângulo ? cujo cosseno é cos? = 0,6. Determine o comprimento mínimo da rampa (em metros)…
✍️ Dissertativa
(Dissertativa) Um engenheiro projeta uma rampa para uma plataforma de altura 1,20 m. A norma exige inclinação máxima de 1:12 (vertical:horizontal). (a) Calcule a menor projeção horizontal necessária e o comprimento…
✍️ Dissertativa
Duas retas paralelas r e s são cortadas por duas transversais que se cruzam no ponto O entre elas. As interseções com r são A e C, com s são B e D, formando os triângulos OAB e OCD. Sabendo OA = 4, OB = 10 e OC = 6…
✍️ Dissertativa
No triângulo retângulo ABC, o ângulo reto está em B. A altura BD até a hipotenusa AC divide AC em AD e DC. Sabendo AB = 15 cm e DC = 16 cm, determine AC, BC e a altura BD. Apresente todos os cálculos.
✍️ Dissertativa
Duas retas paralelas são cortadas por duas transversais. Na primeira transversal, o segmento entre as paralelas mede 8 cm e é dividido por um ponto P em duas partes: superior 3 cm e inferior 5 cm. Na segunda transversal…
✍️ Dissertativa
Num triângulo ABC retângulo em A, AB = 15 cm e AC = 8 cm. Seja D ponto em AB tal que AD:DB = 3:2 e DE paralela a BC com E em AC. Determine AE e DE, justificando os passos.