Defina a sequência (a_n) por a_1 = 5 e, para n = 1, a_{n+1} = v(a_n² + 6²). (a) Prove que a_n² = 25 + 36(n-1)…

Questão

Defina a sequência (a_n) por a_1 = 5 e, para n = 1, a_{n+1} = v(a_n² + 6²). (a) Prove que a_n² = 25 + 36(n-1). (b) Use essa fórmula para calcular a_5.

✍️ Questão dissertativa: veja abaixo a resposta esperada e a explicação.

Resposta esperada

Eleve a relação: a_{n+1}² = a_n² + 36. Isto implica diferença constante entre quadrados; por recorrência a_n² = a_1² + 36(n-1) = 25 + 36(n-1). Para n=5: a_5² = 25 + 36·4 = 25+144 =169, logo a_5 = 13.

Explicação

A relação entre os termos da sequência foi estabelecida ao elevar ambos os lados da equação inicial, resultando em uma diferença constante de 36 entre os quadrados dos termos consecutivos. Isso permitiu deduzir a fórmula geral para a_n², que foi utilizada para calcular a_5. O cálculo final confirma que a_5 é igual a 13, seguindo a fórmula derivada.

Raio-X da questão

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