Matemática9º anoBNCC EF09MA13Difícil⏱ longo

(Dissertativa) Em um triângulo retângulo ABC com ângulo reto em B, a altura BD é traçada até a hipotenusa AC…

Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva

Habilidade BNCC EF09MA13

Demonstrar relações métricas do triângulo retângulo, entre elas o teorema de Pitágoras, utilizando, inclusive, a semelhança de triângulos.

Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).

Questão

(Dissertativa) Em um triângulo retângulo ABC com ângulo reto em B, a altura BD é traçada até a hipotenusa AC, encontrando AC em D. Prove que AB² = AD·AC e BC² = DC·AC e, em seguida, aplique essas relações para calcular AB e BC quando AD=9 cm e DC=16 cm.

✍️ Questão dissertativa: veja abaixo a resposta esperada e a explicação.

Resposta esperada

Prova: Nos triângulos ABD e CBD temos ângulos retos em B e ângulos agudos comuns a cada par; observe que ?BAD = ?CAB e ?BCD = ?CBA por similaridade entre triângulos ABD ~ ABC e CBD ~ ABC. Assim, triângulo ABD ~ ABC ? AB/AB = AD/AC? (formulação correta:) Da semelhança ABD ~ ABC segue AB/AC = AD/AB ? AB² = AD·AC. Analogamente, de CBD ~ ABC segue BC/AC = DC/BC ? BC² = DC·AC. Cálculo: AC = AD+DC =9+16=25 cm. Então AB² =9·25=225 ? AB=15 cm; BC² =16·25=400 ? BC=20 cm. Portanto AB=15 cm e BC=20 cm, conforme as relações demonstradas.

Explicação

A demonstração utiliza a semelhança de triângulos para estabelecer relações entre os lados do triângulo retângulo e suas projeções na hipotenusa. A aplicação dessas relações permite calcular os comprimentos dos lados AB e BC com base nos segmentos AD e DC. Os resultados obtidos estão de acordo com as propriedades dos triângulos semelhantes e a soma dos segmentos na hipotenusa.

Raio-X da questão

Dificuldade Difícil

Bloom Criar

Leitura alto

Discriminação alto

Peso pedagógico alto

Autonomia do enunciado completo

Cobertura da habilidade multipla

🧪 Simulado🩺 Diagnóstico🧮 Exige cálculo🏠 Cotidiano🔗 Interdisciplinar⭐ Representativa✍️ calculativa🧩 desafio

🎯 Conceito central

teorema de Pitágoras

📌 Objetivo

avaliacao

🧱 Pré-requisitos

teorema de Pitágoras · propriedades de triângulos

📚 Reveja

Revisar o teorema de Pitágoras e suas aplicações em triângulos retângulos.

⚠️ Erro mais comum

O aluno pode confundir as relações entre os lados do triângulo, aplicando incorretamente o teorema de Pitágoras sem considerar a altura traçada.

🌎 Tema transversal

ciencia_tecnologia

🤝 Socioemocional

pensamento_critico

🏫 Contexto

cientifico

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