Considere a sequência (a_n) das hipotenusas de triângulos retângulos cujos catetos medem 3n e 4, para n?N*…

Questão

Considere a sequência (a_n) das hipotenusas de triângulos retângulos cujos catetos medem 3n e 4, para n?N*. (a) Determine a fórmula fechada de a_n. (b) Apresente uma relação recursiva entre a_{n+1} e a_n. (c) Calcule a_5 e discuta se a sequência é crescente.

✍️ Questão dissertativa: veja abaixo a resposta esperada e a explicação.

Resposta esperada

Fórmula fechada: a_n = v( (3n)^2 + 4^2 ) = v(9n^2 + 16 ). Relação recursiva: a_{n+1} = v(9(n+1)^2 + 16) = v(9n^2 + 18n + 9 + 16) = v(a_n^2 + 18n + 9). Cálculo: a_5 = v(9·25 + 16) = v241 ˜ 15,524. Monotonicidade: a_{n+1}^2 - a_n^2 = 18n + 9 > 0 para todo n=1, portanto a_{n+1} > a_n e a sequência é estritamente crescente.

Explicação

A fórmula fechada foi derivada utilizando o teorema de Pitágoras, que relaciona os catetos e a hipotenusa. A relação recursiva foi estabelecida ao expressar a hipotenusa do próximo termo em função do termo atual, mostrando a relação entre os quadrados das hipotenusas. O cálculo de a_5 e a análise da diferença entre os quadrados das hipotenusas confirmam que a sequência é estritamente crescente, pois a diferença é sempre positiva.

Raio-X da questão

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