Considere a sequência (h_n) definida por h_n = v((n+1)² + (2n)²), n?N*. (a) Mostre que (h_n) é estritamente…

Questão

Considere a sequência (h_n) definida por h_n = v((n+1)² + (2n)²), n?N*. (a) Mostre que (h_n) é estritamente crescente para n=1. (b) Calcule h_3 e interprete geometricamente h_n.

✍️ Questão dissertativa: veja abaixo a resposta esperada e a explicação.

Resposta esperada

Para n?N*, h_n² = (n+1)² + (2n)² = 5n² + 2n + 1. Então h_{n+1}² = 5(n+1)² + 2(n+1) + 1 = 5n² + 12n + 8. Logo h_{n+1}² - h_n² = (5n²+12n+8) - (5n²+2n+1) = 10n+7 > 0 para n=1. Assim h_{n+1} > h_n e a sequência é estritamente crescente. Para n=3: h_3 = v((3+1)² + (6)²) = v(16+36) = v52 = 2v13. Geometricamente, h_n é a hipotenusa de um triângulo retângulo cujos catetos medem n+1 e 2n (por exemplo, para n=3 os catetos são 4 e 6).

Explicação

A demonstração da estrita crescente da sequência utiliza a diferença entre os quadrados dos termos consecutivos, mostrando que essa diferença é sempre positiva para n=1. O cálculo de h_3 é realizado a partir da definição da sequência, resultando em uma expressão que representa a hipotenusa de um triângulo retângulo. A interpretação geométrica conecta a sequência à relação entre os catetos e a hipotenusa, evidenciando a aplicação prática da fórmula.

Raio-X da questão

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