Considere a sequência (h_n) definida por h_1 = 13 e, para n = 1, h_{n+1} = v(h_n² + 20²). (a) Prove por…

Questão

Considere a sequência (h_n) definida por h_1 = 13 e, para n = 1, h_{n+1} = v(h_n² + 20²). (a) Prove por indução que h_n² = 169 + 400(n-1). (b) Deduza uma fórmula fechada para h_n.

✍️ Questão dissertativa: veja abaixo a resposta esperada e a explicação.

Resposta esperada

Base: para n=1, h_1² = 13² = 169 = 169 + 400(0). Passo indutivo: suponha h_n² = 169 + 400(n-1). Então h_{n+1}² = h_n² + 400 = [169 + 400(n-1)] + 400 = 169 + 400n. Logo vale para n+1. Assim, por indução, h_n² = 169 + 400(n-1) para todo n=1 e h_n = v(169 + 400(n-1)).

Explicação

A prova por indução começa estabelecendo a base, onde a fórmula é verificada para n=1. Em seguida, ao assumir que a fórmula é verdadeira para n, mostra-se que ela também se mantém para n+1, completando o passo indutivo. A dedução da fórmula fechada para h_n é feita a partir da expressão encontrada para h_n², evidenciando a relação entre os termos da sequência.

Raio-X da questão

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