Considere a sequência (a_n) definida por a_1 = 13 e, para n = 1, a_{n+1} = v(a_n² + 12²). (a) Prove, por…

Questão

Considere a sequência (a_n) definida por a_1 = 13 e, para n = 1, a_{n+1} = v(a_n² + 12²). (a) Prove, por indução, que a_n = v(13² + 12²(n-1)) para todo n?N*. (b) Calcule a_4.

✍️ Questão dissertativa: veja abaixo a resposta esperada e a explicação.

Resposta esperada

Modelo de resolução: 1) Base: para n=1, RHS = v(13² + 144·0) = v169 = 13 = a_1, ok. 2) Passo indutivo: suponha a_k = v(169 + 144(k-1)). Então a_k² = 169 + 144(k-1). Pelo enunciado, a_{k+1}² = a_k² + 144 = 169 + 144(k-1) + 144 = 169 + 144k, logo a_{k+1} = v(169 + 144k). Assim a fórmula vale para k+1. Portanto, por indução, a_n = v(169 + 144(n-1)) para todo n=1. 3) Cálculo de a_4: a_4 = v(169 + 144·3) = v(169 + 432) = v601.

Explicação

A prova por indução demonstra que a fórmula proposta para a_n se mantém verdadeira ao longo da sequência, validando a base e o passo indutivo. O cálculo de a_4 utiliza a fórmula confirmada, substituindo n por 4 e realizando as operações necessárias para encontrar o valor. Assim, a resolução mostra que a sequência se comporta conforme a definição inicial e a fórmula encontrada.

Raio-X da questão

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