Considere a sequência (a_n) definida por a_1 = 5 e, para n = 1, a_{n+1} = v(a_n² + 2²), isto é, a_{n+1} é a…

Questão

Considere a sequência (a_n) definida por a_1 = 5 e, para n = 1, a_{n+1} = v(a_n² + 2²), isto é, a_{n+1} é a hipotenusa do triângulo retângulo com catetos a_n e 2. (a) Escreva a relação de recorrência e calcule a_1, a_2, a_3 e a_4. (b) Determine uma expressão explícita para a_n em função de n. (c) Calcule lim_{n?8} a_n e justifique.

✍️ Questão dissertativa: veja abaixo a resposta esperada e a explicação.

Resposta esperada

(a) Relação: a_{n+1}=v(a_n²+4). Valores: a_1=5; a_2=v(5²+4)=v29; a_3=v(29+4)=v33; a_4=v(33+4)=v37. (b) Eleve ao quadrado a recorrência: a_{n+1}² = a_n² +4. Por indução obtém-se a_n² = a_1² +4(n-1) =25+4(n-1)=4n+21. Assim a_n = v(4n+21) (escolhendo o sinal positivo, pois a_n>0). (c) Como a_n = v(4n+21) e 4n+21 ? 8 quando n?8, segue que a_n ? +8; a sequência é estritamente crescente porque a_{n+1}²-a_n²=4>0, logo a_{n+1}>a_n para todo n.

Explicação

A relação de recorrência foi corretamente estabelecida, permitindo o cálculo sucessivo dos termos da sequência. A expressão explícita para a_n foi derivada ao elevar a relação ao quadrado e aplicar indução, garantindo que a fórmula se mantém para todos os n. A análise do limite demonstra que a sequência é crescente e converge para +8, confirmando o comportamento esperado para a_n à medida que n aumenta.

Raio-X da questão

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