Matemática8º anoBNCC EF08MA14Difícil⏱ longo

(Dissertativa) Em um triângulo retângulo ABC com ângulo reto em C, traça-se a altura CD sobre a hipotenusa AB…

Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva

Habilidade BNCC EF08MA14

Demonstrar propriedades de quadriláteros por meio da identificação da congruência de triângulos.

Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).

Questão

(Dissertativa) Em um triângulo retângulo ABC com ângulo reto em C, traça-se a altura CD sobre a hipotenusa AB. Denote p = AD e q = DB. a) Demonstre que AC² = AB·p, BC² = AB·q e CD² = p·q usando semelhança de triângulos. b) Calcule p, q e CD quando AC = 12 cm e BC = 16 cm.

✍️ Questão dissertativa: veja abaixo a resposta esperada e a explicação.

Resposta esperada

(a) Pelas semelhanças: ?ACD ~ ?ABC ? AC/AB = AD/AC ? AC² = AB·AD = AB·p. Analogamente ?BCD ~ ?ABC ? BC² = AB·DB = AB·q. Para a altura, ?CDC (retas) e relações levam a CD² = AD·DB = p·q. (b) Primeiro AB = v(12²+16²)=20. Portanto p = AC²/AB = 144/20 = 36/5 = 7,2 cm; q = BC²/AB = 256/20 = 64/5 = 12,8 cm. CD = v(p·q) = v((36/5)(64/5)) = v(2304/25) = 48/5 = 9,6 cm.

Explicação

A demonstração utiliza a semelhança de triângulos para estabelecer relações entre os lados do triângulo, permitindo expressar AC² e BC² em termos de p e q. O cálculo de p, q e CD é feito a partir da aplicação do Teorema de Pitágoras para encontrar a hipotenusa e, em seguida, utilizando as relações obtidas para determinar os segmentos desejados. Os valores finais são obtidos ao aplicar a fórmula da altura em relação aos segmentos p e q, confirmando a consistência das relações estabelecidas.

Raio-X da questão

Dificuldade Difícil

Bloom Criar

Leitura alto

Discriminação alto

Peso pedagógico alto

Autonomia do enunciado completo

Cobertura da habilidade multipla

🧪 Simulado🩺 Diagnóstico🧮 Exige cálculo🏠 Cotidiano🔗 Interdisciplinar⭐ Representativa✍️ interpretativa🧩 desafio

🎯 Conceito central

semelhança de triângulos

📌 Objetivo

avaliacao

🧱 Pré-requisitos

semelhança de triângulos · teorema de Pitágoras

📚 Reveja

Revisar as propriedades dos triângulos retângulos e semelhança.

⚠️ Erro mais comum

O aluno pode confundir as relações de semelhança e aplicar incorretamente o teorema de Pitágoras, resultando em valores errados para p, q e CD.

🌎 Tema transversal

ciencia_tecnologia

🤝 Socioemocional

pensamento_critico

🏫 Contexto

cientifico

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