19 Questões de Construções geométricas: ângulos de 90°, 60°, 45° e 30° e polígonos regulares

Dados ilustrativos: levantamento estatístico de 2025 indica que cerca de 62% dos bairros implantaram um padrão de pavimentação composto por módulos de ladrilhos, em que cada módulo reúne exatamente 3 ladrilhos hexagonais e 2 ladrilhos quadrados. Em um desses bairros, foram instalados 48 módulos idênticos ao longo de uma nova ciclofaixa urbana, totalizando 240 ladrilhos. A partir do texto, crie uma expressão algébrica que represente o total de ladrilhos instalados em n módulos de padrão idêntico.

1. A) 3n + 2
2. B) 2n + 3
3. C) 5(n - 1)
4. D) 6n
5. E) 5n

No saguão de um centro cultural, o piso temporário de uma exposição será montado com placas idênticas, todas de um único tipo de polígono regular. A equipe de montagem analisou cinco modelos disponíveis no catálogo: pentágono regular, hexágono regular, heptágono regular, octógono regular e nonágono regular. Para que o revestimento cubra toda a superfície, sem deixar frestas nem sobreposições, as placas escolhidas precisam encaixar perfeitamente ao redor de cada ponto de encontro. Nesse tipo de ladrilhamento, a soma dos ângulos ao redor de um vértice deve ser 360°. A equipe deseja escolher um único modelo que possa ser repetido no piso inteiro. Com base no texto, identifique o modelo que pode ser repetido sozinho para ladrilhar o piso sem frestas nem sobreposições.

1. A) O octógono regular, pois quatro ângulos internos formam exatamente 360° ao redor de um vértice.
2. B) O heptágono regular, pois seus ângulos internos podem ser somados até formar 360° sem sobreposição.
3. C) O hexágono regular, pois três ângulos internos de 120° totalizam 360° ao redor de cada vértice.
4. D) O pentágono regular, pois três ângulos internos completam exatamente 360° ao redor de um vértice.
5. E) O nonágono regular, pois seu ângulo interno é obtido dividindo 360° pelo número de lados.

Dados ilustrativos: artesãos de uma cooperativa de mosaico criaram uma sequência de padrões quadrados usando ladrilhos unitários. No padrão de índice n, iniciam-se com um único ladrilho no centro (n=1) e, em cada novo padrão, adiciona-se ao redor um contorno de ladrilhos que forma um quadrado maior. Observa-se que: para n=1 há 1 ladrilho; para n=2, 9 ladrilhos; para n=3, 25 ladrilhos; e para n=4, 49 ladrilhos. A partir do texto-base, identifique a expressão que modela o número total de ladrilhos no padrão de índice n.

1. A) O total de ladrilhos é dado por n^2+(n-1)^2.
2. B) O total de ladrilhos é dado por (2n-1)^2.
3. C) O total de ladrilhos é dado por 4n^2+1.
4. D) O total de ladrilhos é dado por 2n^2-1.
5. E) O total de ladrilhos é dado por (2n+1)^2.

Em um sítio arqueológico recém-descoberto, pesquisadores analisam o piso em mosaico que recobre uma sala retangular. Observou-se que em cada vértice do ladrilhamento encontram-se três polígonos regulares: dois quadrados de 90 graus e um hexágono regular de 120 graus cada. Para que o mosaico se estenda sem deixar espaços ou sobreposições, é necessário um quarto polígono regular em cada vértice, sempre da mesma espécie. Com base na soma dos ângulos internos ao redor de um vértice, identifique o polígono regular que, em cada vértice, completa corretamente o ladrilhamento do mosaico.

1. A) Pentágono regular
2. B) Heptágono regular
3. C) Octógono regular
4. D) Triângulo equilátero
5. E) Decágono regular

— Arquiteta: ‘‘Tenho este azulejo no formato de um quadrilátero convexo ABCD e quero cobrir o piso de uma área sem deixar espaços nem sobreposições. Percebi que basta movimentar cada cópia do quadrilátero ao longo de dois vetores para preencher toda a superfície. Experimentei traduzir ABCD pelos vetores AB e AD e obtive um padrão contínuo.’’ Com base no texto, identifique as operações geométricas que, aplicadas ao quadrilátero ABCD, geram o ladrilhamento do plano sem sobreposição nem afastamentos.

1. A) Aplicar translação por vetor AC e reflexão sobre AC
2. B) Aplicar reflexão sobre reta AB e reflexão sobre reta CD
3. C) Aplicar rotação de 90 graus em A e translação por vetor BD
4. D) Aplicar rotação de 180 graus no ponto médio de AC
5. E) Aplicar translação por vetor AB e translação por vetor AD

Descrição de cena: Em uma comunidade de artesãos, mosaicos são formados por módulos regulares compostos por um polígono de seis lados cercado por triângulos equiláteros, todos com mesmo comprimento de aresta. Cada módulo tilha o plano de forma repetitiva e utiliza exatamente um hexágono regular e seis triângulos equiláteros. Os artesãos planejam confeccionar 10 desses módulos idênticos para decorar uma praça. Com base no texto-base, determine quantos triângulos equiláteros serão necessários para confeccionar 10 mosaicos completos?

1. A) Calcular com 80 triângulos equiláteros
2. B) Calcular com 70 triângulos equiláteros
3. C) Calcular com 50 triângulos equiláteros
4. D) Calcular com 100 triângulos equiláteros
5. E) Calcular com 60 triângulos equiláteros