38 Questões de Transformações geométricas: simetrias de translação, reflexão e rotação

Recorte histórico: Ao restaurar uma página antiga de “Elementos de Euclides”, um ateliê de impressão decidiu transformar o desenho geométrico em uma marca gráfica para a capa. A imagem mostra um quadrado externo e, dentro dele, um quadrado girado (em forma de losango), cujos vértices estão indicados por letras (como D, N, E e I) e tocam os pontos médios dos lados do quadrado maior. Para manter a proporção do desenho original ao reduzir ou ampliar a arte, o designer precisa saber quanto mede o lado do quadrado interno em relação ao lado do quadrado externo. Essa relação permite configurar corretamente a escala no software, sem depender de medições diretas na imagem digitalizada. Analise o quadrado externo e o quadrado interno (losango) mostrados na imagem e conclua, em porcentagem, aproximadamente quanto o lado do quadrado interno mede em relação ao lado do quadrado externo.

1. A) aproximadamente 75% do lado do quadrado externo
2. B) aproximadamente 100% do lado do quadrado externo
3. C) aproximadamente 50% do lado do quadrado externo
4. D) aproximadamente 70,7% do lado do quadrado externo
5. E) aproximadamente 141,4% do lado do quadrado externo

— Se eu girar o raio no circulo unitario, o ponto muda de lugar, mas a figura parece “espelhar” quando troco teta por -teta — comentou um estudante ao usar um aplicativo de trigonometria. Na tela (figura), o ponto B esta no 1o quadrante, determinado pelo angulo teta, e o ponto C aparece simetrico em relacao ao eixo x, determinado por -teta. As projeções desses pontos sobre os eixos formam os pontos D (no eixo x) e E e F (no eixo y). O aplicativo destaca que o segmento horizontal associado a cos(teta) coincide para teta e -teta, enquanto os segmentos verticais associados a sen(teta) mudam de sinal. O estudante deseja programar a area do retangulo tracejado EBCF usando apenas sen(teta) e cos(teta). Interprete, com base no texto e na figura, as medidas dos lados do retangulo EBCF e determine sua area A(teta), em funcao de sen(teta) e cos(teta).

1. A) A(teta) = cos(teta)^2 - sen(teta)^2
2. B) A(teta) = sen(teta) x cos(teta)
3. C) A(teta) = 2 x sen(teta)
4. D) A(teta) = 2 x cos(teta)
5. E) A(teta) = 2 x sen(teta) x cos(teta)

— Geometria sólida pode parecer abstrata, mas é fascinante observar suas relações, disse o professor ao exibir a imagem. Ela mostra o dual do icosaedro, um poliedro azul de faces pentagonais (o dodecaedro) conectado pela malha vermelha de um icosaedro. Os alunos discutem as características dos dois sólidos e anotam o número de vértices e faces de cada um. Sabem que o icosaedro tem 12 vértices e 20 faces. Considere o texto e a imagem e use a fórmula de Euler (V + F = E + 2) para o dual do icosaedro. Qual é o número de arestas desse poliedro?

1. A) 42
2. B) 32
3. C) 24
4. D) 30
5. E) 20

Em um manuscrito de engenheiros do século XVIII, descreve-se o procedimento para posicionar um apoio de madeira em uma fortificação. O ponto P, formado por uma marca no apoio, tem coordenadas iniciais (2,0) num sistema de referência com origem no pilar principal. Primeiro, rotacionaram o apoio em 90 graus no sentido anti-horário em torno da origem, obtendo P'. Em seguida, aplicaram homotetia de razão 2 com centro em (1,1), gerando P''. Analise o texto-base e identifique as coordenadas de P'' após a rotação seguida de homotetia descritas.

1. A) (3,1)
2. B) (-1,3)
3. C) (3,-1)
4. D) (-2,2)
5. E) (1,3)

Artífice de um monumento urbano, um artista planeja a repetição de um triângulo PQR em um painel retroiluminado. O triângulo original tem vértices P(0,0), Q(1,2) e R(3,1). Para criar o módulo seguinte, ele executa em sequência: (1) rotação de 180 graus em torno da origem, (2) reflexão em relação ao eixo x e (3) homotetia de razão 3 com centro no ponto O(0,1). O resultado desse processo gera um novo triângulo, que se encaixará perfeitamente ao lado do original, garantindo simetria e escala no painel. Analise as transformações descritas no texto-base e determine as coordenadas do vértice Q' resultante após a sequência de rotação, reflexão e homotetia.

1. A) (-1,4)
2. B) (-3,4)
3. C) (-3,1)
4. D) (3,-4)
5. E) (-3,6)

Descrição de cena: calçadas de uma praça antiga exibem ladrilhos dispostos em um quadrado cujos vértices, em um sistema de coordenadas cartesianas, são A(1,1), B(3,1), C(3,3) e D(1,3). Para ampliar o desenho, o quadrado original foi submetido a uma homotetia de centro na origem e razão k=2. Em seguida, a figura resultante foi rotacionada 90 graus no sentido anti-horário em torno da origem. Considere o quadrado descrito no texto-base e identifique as coordenadas do vértice A'' após as transformações realizadas.

1. A) (-2,2)
2. B) (2,-2)
3. C) (-4,4)
4. D) (2,2)
5. E) (-2,-2)