Equivalência de expressões algébricas: identificação da regularidade de uma sequência numérica - Ensino Médio

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Question 1

Para uma instalação artística, uma equipe monta painéis em etapas. Na etapa 1, usa 8 peças; na etapa 2, 13; na etapa 3, 18; e na etapa 4, 23. O projeto será reformulado para que cada etapa tenha 2 peças a mais do que tinha no projeto original, mantendo a mesma diferença de peças entre etapas consecutivas.

Considerando n como o número da etapa, qual expressão representa a quantidade de peças no projeto reformulado?

Accepted Answer

Alternativa A: 5n + 5 — No projeto original, a sequência aumenta de 5 em 5 e é representada por 5n + 3. A inclusão de 2 peças em cada etapa eleva o termo constante em 2, resultando em 5n + 5. Dica: A sequência original tem razão 5; some 2 a cada termo e escreva o termo geral em função de n.

Answer

Alternativa B: 7n + 5 — Acrescenta 2 à diferença entre etapas, que passa de 5 para 7, e também soma 2 ao termo constante. O enunciado determina que a diferença entre etapas seja mantida, então o coeficiente de n deve continuar sendo 5.

Answer

Alternativa C: 5n + 3 — Mantém a expressão do projeto original, 5n + 3, sem acrescentar as 2 peças em cada etapa; por isso não representa o projeto reformulado.

Answer

Alternativa D: 5n + 4 — Usa o número de peças da primeira etapa original como termo constante: 8 - 5 = 3; depois acrescenta apenas 1, obtendo 3 + 1 = 4. A reformulação acrescenta 2 peças por etapa, não 1.

Answer

Alternativa E: 5n + 7 — Parte do termo constante 3 da expressão original e soma 4: 3 + 2 + 2 = 7. A alteração deve acrescentar apenas 2 ao termo constante, não duas vezes esse valor.

Question 2

Em uma oficina de montagem de luminárias, a equipe registra a quantidade de peças usadas em cada etapa: na etapa 1 são 5 peças, na etapa 2 são 8 e na etapa 3 são 11. Para calcular a quantidade na etapa n, dois funcionários propõem as expressões 3n + 2 e 3(n + 1) - 1.

Comparando as duas propostas com a sequência registrada, qual conclusão está correta?

Accepted Answer

Alternativa D: As expressões são equivalentes: ambas geram a sequência que começa em 5 e aumenta 3 peças a cada etapa. — Ao desenvolver 3(n + 1) - 1, obtém-se 3n + 2. Assim, as duas expressões descrevem a mesma regra, coerente com os valores registrados e o aumento constante de 3 peças. Dica: Simplifique 3(n + 1) - 1 e compare com 3n + 2.

Answer

Alternativa A: A primeira proposta descreve a sequência, mas a segunda indica uma quantidade fixa de peças em todas as etapas. — Interpreta-se o trecho entre parênteses como uma quantidade que não depende de n e, por isso, considera-se que 3(n + 1) - 1 não varia com a etapa. Na expressão, porém, n varia e determina a quantidade.

Answer

Alternativa B: As propostas não são equivalentes: a segunda prevê uma peça a mais que a primeira em cada etapa. — Distribui-se o fator de modo incorreto em 3(n + 1) - 1, interpretando a expressão como 3n + 3 - 1 + 1; assim, ela parece resultar em 3n + 3. O termo -1 deve ser subtraído, não somado.

Answer

Alternativa C: As duas propostas são equivalentes e indicam que a quantidade de peças diminui a cada etapa. — Ao observar o sinal de subtração em 3(n + 1) - 1, conclui-se que a quantidade diminui. Essa subtração faz parte da expressão equivalente a 3n + 2; não indica uma redução de uma etapa para outra.

Answer

Alternativa E: A segunda proposta descreve a sequência registrada, enquanto a primeira só corresponde à quantidade da etapa inicial. — Considera-se que 3n + 2 só serve para o primeiro termo por ele coincidir com o valor inicial, sem verificar que a expressão também produz os termos seguintes. A regra é válida para qualquer etapa n.

Question 3

Uma artesã organiza pequenos vasos em fileiras para uma feira. Na primeira fileira, coloca 7 vasos; em cada fileira seguinte, acrescenta 4 vasos em relação à anterior. Assim, as quantidades formam a sequência 7, 11, 15, ...

Se n indica a posição da fileira nessa sequência, qual expressão algébrica representa a quantidade de vasos na fileira n?

Accepted Answer

Alternativa D: 4n + 3 — A quantidade aumenta de 4 em 4, e a primeira fileira tem 7 vasos. Portanto, para a posição n, a expressão é 7 + 4(n - 1), equivalente a 4n + 3. Dica: Parta de 7 vasos na posição 1 e some 4 por cada avanço de posição.

Answer

Alternativa A: 7n + 4 — Toma 7 como a quantidade acrescentada a cada fileira e 4 como quantidade inicial, montando 4 + 7n. Isso troca o primeiro termo pela razão da sequência e não representa o aumento de 4 vasos entre fileiras.

Answer

Alternativa B: 4n + 11 — Usa 11, quantidade da segunda fileira, como se fosse a quantidade inicial e escreve 11 + 4(n - 1), que se simplifica para 4n + 7; para chegar a 4n + 11, mantém o 11 e acrescenta 4n, sem ajustar a posição inicial. A expressão prevê 15 vasos na primeira fileira, portanto não respeita o início da sequência.

Answer

Alternativa C: 4n + 7 — Usa 7 + 4n: parte dos 7 vasos da primeira fileira e acrescenta 4n, sem descontar o primeiro avanço que ainda não ocorreu na fileira 1. Assim, para n = 1, prevê 11 vasos em vez de 7.

Answer

Alternativa E: 3n + 4 — Interpreta equivocadamente o 7 da primeira fileira como 3 + 4 e usa 3 como coeficiente de n, formando 3n + 4. O coeficiente deve representar o aumento entre fileiras, que é 4, e a expressão também não fornece 7 para n = 1.

Question 4

Em um estudo de padrões numéricos, uma equipe registrou a tabela: para n = 1, 2, 3, 4 e 5, os valores correspondentes de a_n são 3, 8, 15, 24 e 35. Uma estudante propôs a expressão a_n = n² + 2n. Ao revisar a proposta, outro estudante afirmou: “A expressão n(n + 2) é equivalente a n² + 2n; como ambas reproduzem os cinco valores da tabela, fica provado que essa é a única regra possível para a sequência.”

Qual avaliação da afirmação do estudante é matematicamente adequada?

Accepted Answer

Alternativa A: As expressões são equivalentes para todo n, e geram os valores da tabela; porém, os cinco termos observados não provam que essa seja a única regra possível para a sequência. — Pela distributividade, n(n + 2) = n² + 2n para qualquer n. A expressão reproduz os valores registrados, mas outras expressões podem coincidir nos cinco índices e diferir em índices posteriores; portanto, a tabela não estabelece por si só a unicidade da regra. Dica: Expanda n(n + 2) e pergunte se cinco valores determinam todas as regras possíveis.

Answer

Alternativa B: A expressão n² + 2n reproduz os valores registrados, mas n(n + 2) não; nessa forma, a multiplicação deve ser realizada antes da soma, alterando os resultados. — Interpreta incorretamente a ordem das operações em n(n + 2), como se o produto não distribuísse sobre a soma; na realidade, n(n + 2) = n² + 2n.

Answer

Alternativa C: As expressões não são equivalentes, pois n(n + 2) e n² + 2n representam operações diferentes; assim, a tabela não permite validar as duas formas como a mesma regra. — Confunde a forma fatorada com uma expressão de operações distintas e não aplica a propriedade distributiva: n(n + 2) = n² + 2n.

Answer

Alternativa D: As expressões são equivalentes e reproduzem os valores registrados; como há cinco termos confirmados, a tabela prova que essa é a única regra possível para a sequência. — Conclui que cinco casos determinam uma regra única; uma regra diferente pode coincidir nos índices observados e divergir em índices posteriores.

Answer

Alternativa E: As expressões são equivalentes somente nos índices apresentados; para outros valores de n, a forma fatorada e a forma desenvolvida podem produzir termos diferentes. — Restringe indevidamente a identidade algébrica aos índices da tabela; pela distributividade, n(n + 2) = n² + 2n para qualquer n.

Question 5

Em um teste de sensores de temperatura usados em equipamentos de monitoramento, um sistema registra, a cada ciclo, uma leitura de referência em unidades padronizadas. Nos quatro primeiros ciclos, os valores registrados são 6, 10, 14 e 18. O aumento observado entre ciclos consecutivos se mantém constante.

Considerando que n indica o número do ciclo e que a regularidade observada continua, qual expressão representa o valor registrado no ciclo n?

Accepted Answer

Alternativa E: 4n + 2 — Os valores aumentam de 4 em 4. Como o primeiro valor é 6, a expressão geral é 6 + 4(n - 1), equivalente a 4n + 2. Dica: A sequência começa em 6 e aumenta 4 a cada ciclo; escreva o termo em função de n.

Answer

Alternativa A: 6n + 4 — Toma 6 como a variação por ciclo e 4 como valor inicial adicional, formando 6n + 4. A variação observada entre ciclos é 4, e não 6.

Answer

Alternativa B: 4n + 6 — Usa 6 como termo inicial e soma 4n: 6 + 4n = 4n + 6. Isso conta n aumentos de 4, embora do ciclo 1 ao ciclo n ocorram n - 1 aumentos.

Answer

Alternativa C: 3n + 3 — Usa a média das leituras, (6 + 10 + 14 + 18)/4 = 12, como referência e constrói uma expressão com coeficiente 3 e constante 3. A média dos valores não representa a variação constante nem determina a leitura no ciclo n.

Answer

Alternativa D: 4n + 4 — Usa a variação 4 como coeficiente e toma 4 como termo constante, obtendo 4n + 4. Essa expressão daria 8 no primeiro ciclo, em vez da leitura inicial 6.

Question 6

Em um ateliê de arte digital, uma artista registra quantos pontos luminosos acrescenta a cada etapa de uma animação. A tabela mostra os registros das quatro primeiras etapas:

Etapa (n) | Pontos luminosos
1 | 9
2 | 15
3 | 21
4 | 27

A artista mantém a mesma regularidade nas etapas seguintes.

Considerando n como o número da etapa, qual expressão representa a quantidade de pontos luminosos registrada nessa sequência?

Accepted Answer

Alternativa D: 6n + 3 — A quantidade aumenta em 6 pontos a cada etapa. Como na primeira etapa há 9 pontos, a expressão 6n + 3 produz 9 para n = 1 e mantém o acréscimo de 6 indicado pela tabela. Dica: Observe que a sequência aumenta de 6 em 6 e ajuste a expressão para n=1.

Answer

Alternativa A: 4n + 6 — Usa 4 como coeficiente, tomando como referência a quarta etapa, e ajusta o termo constante para produzir 10 na primeira: 4*1+6=10. Está errado porque o coeficiente da expressão deve representar o acréscimo constante entre etapas, que é 6.

Answer

Alternativa B: 7n + 2 — Ao comparar os registros, calcula uma diferença de 7 em vez de 6 e ajusta o termo constante para obter 9 na primeira etapa: 7*1+2=9. Está errado porque as diferenças entre os pontos consecutivos da tabela são 6.

Answer

Alternativa C: 5n + 4 — Usa um acréscimo de 5 por etapa e ajusta o termo constante para começar em 9: 5*1+4=9. Está errado porque a taxa de variação indicada pelos registros é 6 pontos por etapa.

Answer

Alternativa E: 6n + 9 — Mantém o acréscimo de 6, mas usa diretamente a quantidade da primeira etapa como termo constante: 6*1+9=15. Está errado porque a expressão precisa produzir 9 quando n=1; o termo constante deve compensar o 6 já contado nessa etapa.

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