Progressão aritmética: 10 exercícios resolvidos e comentados

Quando trabalho progressão aritmética, percebo que muitos alunos decoram fórmulas antes de entender o padrão. Eu começo com sequências simples, como 5, 10, 15, 20, e peço que expliquem o que muda de um termo para o seguinte. Essa conversa ajuda a turma a reconhecer a diferença constante e dá sentido à razão da PA.

Depois, avanço para termo geral, soma e problemas com logaritmos. Separei seis questões da base do GeraProva, com níveis e habilidades diferentes, para mostrar caminhos de resolução e erros comuns. Embora o título indique dez exercícios, as questões disponíveis nesta seleção são seis; prefiro deixar isso claro a completar a lista com itens que não vieram da base apresentada.

O que é uma progressão aritmética e como identifico sua razão?

Uma progressão aritmética, ou PA, é uma sequência numérica em que a diferença entre cada termo e o anterior permanece constante. Essa diferença recebe o nome de razão e costuma ser representada pela letra r. Para identificá-la, subtraio um termo do termo seguinte: em 5, 10, 15, 20, por exemplo, faço 10 − 5 = 5 e confirmo que 15 − 10 e 20 − 15 também valem 5. A sequência é uma PA de razão 5. A razão pode ser positiva, negativa ou zero; por isso, a sequência pode crescer, diminuir ou manter o mesmo valor. Na aula, começo pedindo que os estudantes comparem pares consecutivos, antes de apresentar fórmulas. Esse procedimento também funciona em contextos cotidianos, como produção por lote ou consumo por dia, e ajuda a evitar confusões entre razão e termo.

Uma pergunta útil para a turma é: “qual operação transforma um termo no próximo?”. Se a resposta muda a cada passo, não há PA. Se permanece igual, a regularidade pode ser descrita por uma razão constante.

Como calculo um termo ou a soma de uma PA?

Para encontrar um termo específico, uso a fórmula a_n = a₁ + (n − 1)r, em que a₁ é o primeiro termo, r é a razão e n indica a posição. O fator n − 1 aparece porque, do primeiro termo até o termo de posição n, são percorridos n − 1 intervalos. Para somar os n primeiros termos, uso S_n = n(a₁ + a_n)/2. Primeiro calculo o último termo e depois somo o primeiro com o último, multiplicando pela quantidade de termos e dividindo por dois. Eu costumo pedir que os alunos anotem o que cada dado representa antes de substituir na fórmula. Isso reduz erros como usar a razão no lugar do último termo ou confundir o valor de um termo com a soma de vários. Em situações de contexto, a unidade também importa: um termo pode representar guardanapos por dia; a soma, o total usado no período.

Quando quero variar o nível das atividades, organizo questões de reconhecimento, aplicação e análise. O GeraProva ajuda a montar listas com esse tipo de variedade e poupa tempo na preparação.

Como usar estas questões de PA para ensinar e revisar?

Eu sugiro começar pelas questões de razão e identificação de termos, passar ao termo geral e só depois propor soma ou logaritmos. Essa sequência permite que a turma construa as ferramentas necessárias sem tratar cada fórmula como uma regra isolada. Nas resoluções abaixo, recomendo pedir que os alunos expliquem por que cada alternativa incorreta não funciona; analisar o distrator revela se a dificuldade está na conta, na leitura ou na escolha da fórmula. As questões também trazem códigos BNCC e níveis de Bloom associados à base do GeraProva, informações que posso usar para selecionar itens e planejar uma avaliação coerente com meus objetivos. Há propostas fáceis, médias e difíceis, incluindo aplicação em contexto e articulação com logaritmos. Para uma lista pronta ou uma adaptação para sua turma, você pode conhecer o cadastro grátis e experimentar a plataforma no seu planejamento.

Questões prontas com gabarito comentado

As seis questões a seguir percorrem habilidades diferentes: reconhecer uma razão, encontrar um termo, aplicar a fórmula da soma e relacionar PA com logaritmos. Em cada item, eu mostro a conta e comento todas as alternativas para que a correção também sirva como revisão. Os códigos BNCC, níveis de Bloom, dicas e conceitos foram mantidos conforme os dados pedagógicos fornecidos. Em dois itens de logaritmos, há divergências entre a alternativa marcada e a explicação registrada na base; eu explicito a verificação matemática para não consolidar um gabarito inconsistente. Esse cuidado é importante: uma resolução comentada precisa sustentar a resposta com cálculo, e não apenas repetir a marcação. Você pode usar as questões como discussão coletiva, atividade individual ou ponto de partida para criar versões com outros valores.

1. A sequência 5, 10, 15, 20, x, 30 é uma PA. Qual é o valor de x?

Resolução: a razão é 10 − 5 = 5. Somando 5 ao termo 20, obtemos x = 25; a sequência fica 5, 10, 15, 20, 25, 30.

• ❌ A) 20: repete um termo que já aparece e não mantém a sequência crescente de cinco em cinco.
• ✅ B) 25: é o termo seguinte, pois 20 + 5 = 25.
• ❌ C) 30: esse termo já aparece depois de x; colocá-lo antes quebraria a regularidade.
• ❌ D) 35: aumenta 15 após o 20, não a razão constante 5.
• ❌ E) 40: também não é o termo entre 20 e 30 na PA indicada.

Dica de resolução: identifique a razão. Conceito central: progressão aritmética. Para revisar: propriedades das PAs. BNCC: EF06MA14. Bloom: Lembrar.

2. Se log₂a₁, log₂a₂, log₂a₃, log₂a₄ e log₂a₅ formam uma PA de razão 1/2 e a₁ = 4, quanto vale a soma dos aᵢ?

Resolução: log₂a₁ = 2. Os logaritmos são 2, 2,5, 3, 3,5 e 4; portanto, os termos são 4, 4√2, 8, 8√2 e 16. A soma é 28 + 12√2. Há inconsistência nos dados fornecidos: a alternativa C traz esse resultado, mas está marcada como errada; a alternativa D está marcada como correta, embora seu valor não corresponda à soma.

• ❌ A) 24 + √2: não corresponde à soma dos cinco termos obtidos.
• ❌ B) 24 + 2√2: não considera corretamente os valores dos cinco termos.
• ✅ C) 24 + 12√2: é a alternativa que a base assinala como resultado, mas a soma calculada é 28 + 12√2; portanto, o enunciado/opções parecem conter erro.
• ❌ D) 28 + 12√2: a conta resulta nesse valor; apesar de estar marcada como correta na base, a opção foi descrita ali como incorreta. É o resultado matemático correto.
• ❌ E) 28 + 18√2: o coeficiente de √2 está incorreto.

Dica de resolução: monte a PA dos logaritmos e depois retorne às potências de 2. Conceito central: PA e logaritmos. Para revisar: propriedades dos logaritmos. BNCC: EM13MAT301. Bloom: Aplicar.

3. Uma PA tem primeiro termo 6 e razão 5. Em que posição o termo atinge ou ultrapassa 100?

Resolução: aplico a_n = 6 + 5(n − 1) e imponho 6 + 5(n − 1) ≥ 100. Daí, 5n + 1 ≥ 100, então n ≥ 19,8. Como a posição precisa ser inteira, o primeiro termo que atinge ou supera 100 está na posição 20; de fato, a₂₀ = 101.

• ❌ A) n = 19: resulta em 96, ainda abaixo de 100.
• ✅ B) n = 20: é a menor posição inteira que satisfaz a condição.
• ❌ C) n = 21: também ultrapassa 100, mas não é a primeira posição a fazê-lo.
• ❌ D) n = 18: truncar 19,8 para baixo não atende ao limite; a posição 18 dá 91.
• ❌ E) n = 22: aplica uma posição além do necessário e não é a menor que satisfaz a condição.

Dica de resolução: use o termo geral e arredonde a posição para cima quando necessário. Conceito central: PA e termo geral. Para revisar: inequações com posições inteiras. BNCC: EF08MA10. Bloom: Aplicar.

4. Uma produção em centenas de pães forma uma PA de primeiro termo 3 e razão 2. Qual é a diferença comum?

Resolução: a diferença comum é a razão, calculada subtraindo termos consecutivos. Como a sequência começa em 3 e aumenta de 2 em 2, os termos são 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15 e 17. Logo, a razão é 2 centenas de pães entre lotes sucessivos.

• ❌ A) 14: é a diferença entre o oitavo e o primeiro termo (17 − 3), não entre termos consecutivos.
• ✅ B) 2: corresponde à diferença constante, por exemplo, 5 − 3.
• ❌ C) 8: é a quantidade de termos apresentados, não a razão.
• ❌ D) 5: é o segundo termo, não a diferença entre o segundo e o primeiro.
• ❌ E) 17: é o oitavo termo, não a diferença comum.

Dica de resolução: subtraia valores consecutivos. Conceito central: razão de uma PA. Para revisar: cálculo da diferença entre termos. BNCC: EF08MA10. Bloom: Analisar.

5. No primeiro dia foram usados 7 guardanapos, com aumento de 2 por dia. Quantos foram usados nos 15 primeiros dias?

Resolução: o 15º termo é a₁₅ = 7 + 14 × 2 = 35. A soma é S₁₅ = 15(7 + 35)/2 = 315 guardanapos. A resposta é o total acumulado, não apenas o consumo do último dia.

• ❌ A) 210: não corresponde à soma dos 15 termos; resulta de usar quantidade de dias inadequada.
• ✅ B) 315: aplica corretamente a fórmula da soma dos 15 termos.
• ❌ C) 35: é o consumo do 15º dia, não o total do período.
• ❌ D) 112: corresponde à soma dos oito primeiros termos, não dos quinze.
• ❌ E) 280: equivale à soma dos 14 primeiros termos; falta incluir o 15º dia.

Dica de resolução: encontre o último termo e depois aplique a fórmula da soma. Conceito central: soma dos termos da PA. Para revisar: termo geral e soma. BNCC: EM13MAT507. Bloom: Aplicar.

6. Se a₁ = log₂x, a₂ = log₄(4x) e a₃ = log₈(8x) formam uma PA, quanto vale a soma?

Resolução: seja t = log₂x. Então a₁ = t, a₂ = 1 + t/2 e a₃ = 1 + t/3. A condição de PA é 2a₂ = a₁ + a₃: 2 + t = t + 1 + t/3, logo t = 3. Os termos são 3, 2,5 e 2; a soma é 15/2. A explicação da base indica 19/2 como correta, mas a verificação algébrica confirma 15/2.

• ❌ A) 13/2: não é a soma dos termos obtidos após impor a condição de PA.
• ✅ B) 15/2: é a soma 3 + 2,5 + 2.
• ❌ C) 17/2: não corresponde aos três valores calculados.
• ❌ D) 19/2: está marcada como correta na explicação fornecida, mas não satisfaz a resolução algébrica.
• ❌ E) 21/2: é incompatível com os termos da PA encontrada.

Dica de resolução: transforme os logaritmos para a mesma base e use a condição 2a₂ = a₁ + a₃. Conceito central: PA e logaritmos. Para revisar: propriedades de logaritmos e definição de PA. BNCC: EM13MAT301. Bloom: Analisar.

As seis questões disponíveis mostram diferentes usos da PA, mas confira os itens com inconsistência antes de aplicá-los como avaliação. Se quiser montar e adaptar atividades para sua turma, experimente o GeraProva; a ferramenta pode ajudar a economizar tempo, sem substituir sua revisão pedagógica.