Em uma situação hipotética de uma oficina de mosaicos, duas placas quadradas têm lados de x centímetros e 8…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Compreender os processos de fatoração de expressões algébricas, com base em suas relações com os produtos notáveis, para resolver e elaborar problemas que possam ser representados por equações polinomiais do 2º grau.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Em uma situação hipotética de uma oficina de mosaicos, duas placas quadradas têm lados de x centímetros e 8 centímetros. A diferença entre suas áreas é representada por x^2 - 64. Para fatorar uma diferença de quadrados, pode-se usar a identidade a^2 - b^2 = (a - b)(a + b). Em outra situação da oficina, a diferença entre as áreas é representada por x^2 - 49. Para representar a diferença entre as áreas das placas, qual fatoração corresponde à expressão da situação A?
- A) x^2 — 64 = (x — 8)(x + 4)
- B) x^2 — 64 = (x — 7)(x + 7)
- C) x^2 — 64 = (x — 4)(x + 8)
- D) x^2 — 64 = (x — 4)(x + 16)
- E) x^2 — 64 = (x — 8)(x + 8)
✅ Resposta correta: alternativa E
Resolução passo a passo
- A expressão da situação A é x^2 − 64. Como 64 = 8^2, podemos escrevê-la como x^2 − 8^2.
- Aplicamos a identidade a^2 − b^2 = (a − b)(a + b), com a = x e b = 8. Assim, x^2 − 64 = (x − 8)(x + 8), alternativa E.
- As demais opções não são equivalentes a x^2 − 64: A usa x + 4; B corresponde a x^2 − 49; C e D, ao serem desenvolvidas, não resultam em x^2 − 64.
- A referência a x^2 − 49 descreve outra situação da oficina; para a situação A, vale a expressão x^2 − 64. O gabarito oficial E coincide com a fatoração correta.
💡 Dica: Escreva 64 como 8² e aplique a² - b² = (a - b)(a + b).
Alternativa por alternativa
O aluno reconhece o fator x − 8, mas não mantém o par conjugado: para diferença de quadrados, o outro fator deve ser x + 8, e não x + 4.
O aluno pode ter usado 7, número que aparece na outra situação descrita, em vez de identificar que nesta expressão 64 = 8^2.
O aluno pode ter associado o 64 ao quadrado de 4, pois 64 contém o fator 4, e então aplicado incorretamente os fatores. Porém, 64 = 8^2, não 4^2.
O aluno pode ter tentado encontrar fatores que produzam 64, mas os termos constantes −4 e 16 não formam o par necessário, e os termos cruzados não se cancelam.
A diferença entre dois quadrados pode ser fatorada como a diferença das bases multiplicada pela soma delas: x^2 - 8^2 = (x - 8)(x + 8).
Raio-X da questão
Fatoração da diferença de quadrados
diagnostico
Quadrados perfeitos e potenciação · Produto de binômios conjugados
Identidade da diferença de quadrados
Subtrair os termos ou usar fatores com sinais ou valores que não reproduzem a expressão.
abstrato
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