Situação hipotética: em uma oficina de montagem de uma instalação artística, será produzido um revestimento…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Resolver e elaborar problemas que envolvem o cálculo de áreas totais e de volumes de prismas, pirâmides e corpos redondos em situações reais (como o cálculo do gasto de material para revestimento ou pinturas de objetos cujos formatos sejam composições dos sólidos estudados), com ou sem apoio de tecnologias digitais.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Situação hipotética: em uma oficina de montagem de uma instalação artística, será produzido um revestimento para uma escultura em forma de octaedro regular. A peça possui oito faces triangulares equiláteras congruentes, e todas elas receberão o mesmo material refletivo. No primeiro projeto, cada aresta mede 12 cm. Para aumentar a visibilidade da obra no espaço expositivo, a equipe propõe uma segunda versão com arestas de 15 cm. O material deve cobrir integralmente as faces externas, sem sobreposições nem perdas. Calcule as áreas externas totais das duas versões da escultura e explique como o aumento da aresta provoca a variação na quantidade de material necessária.
✍️ Questão dissertativa: veja abaixo a resposta esperada e a explicação.
Resposta esperada
Na primeira versão, a altura de cada face é raiz quadrada de (12^2 - 6^2) = 6 * raiz quadrada de 3 cm. Assim, cada face tem área 36 * raiz quadrada de 3 cm^2 e a área externa total é 8 * 36 * raiz quadrada de 3 = 288 * raiz quadrada de 3 cm^2. Na segunda versão, a altura de cada face é raiz quadrada de (15^2 - 7,5^2) = 7,5 * raiz quadrada de 3 cm. Cada face tem área 56,25 * raiz quadrada de 3 cm^2 e a área externa total é 8 * 56,25 * raiz quadrada de 3 = 450 * raiz quadrada de 3 cm^2. A quantidade de material aumenta em 162 * raiz quadrada de 3 cm^2, equivalente a 56,25%, pois a área de cada face varia com o quadrado da medida da aresta.
Explicação
Um octaedro regular possui oito faces triangulares equiláteras. A soma das áreas das oito faces fornece a área externa; como a aresta passa de 12 cm para 15 cm, a razão entre as áreas é (15/12)^2 = 25/16, correspondendo a aumento de 56,25%.
Raio-X da questão
Área total de um octaedro regular por soma das áreas de suas faces.
fixacao
Fórmula da área do triângulo equilátero. · Multiplicação de áreas congruentes e comparação percentual ou relativa.
Área do triângulo equilátero e proporcionalidade quadrática das áreas.
Aumentar a área na mesma proporção que a aresta, em vez de considerar o quadrado da escala.
Arte e cultura
cotidiano
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