Uma equipe de cenografia está produzindo um tetraedro regular para uma instalação artística. No primeiro…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Resolver e elaborar problemas que envolvem o cálculo de áreas totais e de volumes de prismas, pirâmides e corpos redondos em situações reais (como o cálculo do gasto de material para revestimento ou pinturas de objetos cujos formatos sejam composições dos sólidos estudados), com ou sem apoio de tecnologias digitais.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Uma equipe de cenografia está produzindo um tetraedro regular para uma instalação artística. No primeiro protótipo, cada aresta mede 8 cm. Para a versão ampliada, todas as arestas passarão a medir 12 cm. A equipe aplicará acabamento em todas as faces, sem incluir material extra para emendas. A área de um triângulo equilátero de lado a é (raiz quadrada de 3 / 4) a². Com base nos dados, qual será o efeito da ampliação sobre a área superficial total do tetraedro?
- A) A área superficial aumentará de 16 raiz quadrada de 3 cm² para 35 raiz quadrada de 3 cm², ou seja, crescerá 20 raiz quadrada de 3 cm².
- B) A área superficial aumentará de 48 raiz quadrada de 3 cm² para 104 raiz quadrada de 3 cm², ou seja, crescerá 60 raiz quadrada de 3 cm².
- C) A área superficial aumentará de 128 raiz quadrada de 3 cm² para 277 raiz quadrada de 3 cm², ou seja, crescerá 160 raiz quadrada de 3 cm².
- D) A área superficial aumentará de 64 raiz quadrada de 3 cm² para 96 raiz quadrada de 3 cm², ou seja, crescerá 32 raiz quadrada de 3 cm².
- E) A área superficial aumentará de 64 raiz quadrada de 3 cm² para 144 raiz quadrada de 3 cm², ou seja, crescerá 80 raiz quadrada de 3 cm².
✅ Resposta correta: alternativa E
Resolução passo a passo
- Um tetraedro regular tem 4 faces triangulares equiláteras. Para lado 8 cm, cada face tem área (√3/4) × 8² = 16√3 cm²; a área total é 4 × 16√3 = 64√3 cm².
- Para lado 12 cm, cada face tem área (√3/4) × 12² = 36√3 cm²; a área total é 4 × 36√3 = 144√3 cm².
- O aumento é 144√3 − 64√3 = 80√3 cm². Portanto, E está correta.
- A está errada por não multiplicar corretamente a área de cada face pelo número de faces; B e C também apresentam totais incompatíveis com as áreas triangulares calculadas; D usa 64√3 como área inicial, mas calcula incorretamente a área final.
💡 Dica: Calcule quatro vezes a área de uma face em cada tamanho e subtraia os resultados.
Alternativa por alternativa
O aluno não considera corretamente as quatro faces ao calcular a área total, além de não obter as áreas totais correspondentes aos lados informados.
O aluno usa valores de área total que não resultam da fórmula da área do triângulo equilátero aplicada às quatro faces.
O aluno calcula ou combina incorretamente as áreas das faces, obtendo totais incompatíveis com os lados 8 cm e 12 cm.
O aluno acerta a área inicial, mas não calcula corretamente a área total para o lado de 12 cm; o valor correto é 144√3 cm².
Por que engana: Calcular a área de apenas uma face ou aplicar à área a mesma razão linear das arestas.
O tetraedro tem quatro faces triangulares equiláteras. Assim, sua área total é raiz quadrada de 3 vezes o quadrado da aresta: para 8 cm, resulta em 64 raiz quadrada de 3 cm²; para 12 cm, em 144 raiz quadrada de 3 cm². A diferença é 80 raiz quadrada de 3 cm².
Raio-X da questão
Área superficial de tetraedro regular e escala de áreas.
fixacao
Área de triângulo equilátero. · Identificação das quatro faces triangulares de um tetraedro regular.
Área de triângulo equilátero.
Calcular a área de apenas uma face ou aplicar à área a mesma razão linear das arestas.
cotidiano
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