Para proteger um sensor usado no monitoramento de uma mina, uma equipe projeta um invólucro fechado em forma…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Resolver e elaborar problemas que envolvem o cálculo de áreas totais e de volumes de prismas, pirâmides e corpos redondos em situações reais (como o cálculo do gasto de material para revestimento ou pinturas de objetos cujos formatos sejam composições dos sólidos estudados), com ou sem apoio de tecnologias digitais.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Para proteger um sensor usado no monitoramento de uma mina, uma equipe projeta um invólucro fechado em forma de prisma reto de base hexagonal regular. No primeiro protótipo, cada lado do hexágono mede 4 cm e o comprimento do prisma é 10 cm. Para acomodar um sensor maior, o projeto dobra a medida de cada lado da base e reduz o comprimento do prisma pela metade. A área de cada base hexagonal regular de lado a é (3 raiz quadrada de 3 / 2) a^2; a área lateral do prisma é o perímetro da base multiplicado pelo comprimento. Desconsiderando a espessura do material, qual consequência a alteração das dimensões terá sobre a área superficial total necessária para fabricar o invólucro?
- A) A área superficial aumentará em 240 + 144 raiz quadrada de 3 cm², passando de 240 + 48 raiz quadrada de 3 cm² para 489 + 192 raiz quadrada de 3 cm².
- B) A área superficial aumentará em 12 raiz quadrada de 3 cm², passando de 240 + 12 raiz quadrada de 3 cm² para 240 + 24 raiz quadrada de 3 cm².
- C) A área superficial aumentará em 72 raiz quadrada de 3 cm², passando de 240 + 24 raiz quadrada de 3 cm² para 240 + 96 raiz quadrada de 3 cm².
- D) A área superficial aumentará em 144 raiz quadrada de 3 cm²: passará de 240 + 48 raiz quadrada de 3 cm² para 240 + 192 raiz quadrada de 3 cm².
- E) A área superficial aumentará em 96 raiz quadrada de 3 cm², passando de 240 + 48 raiz quadrada de 3 cm² para 240 + 144 raiz quadrada de 3 cm².
✅ Resposta correta: alternativa D
Resolução passo a passo
- No protótipo inicial, a área lateral é 6 × 4 × 10 = 240 cm². As duas bases somam 2 × (3√3/2 × 4²) = 48√3 cm². Logo, a área total é 240 + 48√3 cm².
- No novo projeto, o lado da base passa a 8 cm e o comprimento, a 5 cm. A área lateral é 6 × 8 × 5 = 240 cm². As duas bases somam 2 × (3√3/2 × 8²) = 192√3 cm².
- A nova área total é 240 + 192√3 cm². O aumento é (240 + 192√3) − (240 + 48√3) = 144√3 cm². Portanto, a alternativa D está correta.
💡 Dica: Calcule a área lateral e as duas bases para cada conjunto de dimensões, depois compare os totais.
Alternativa por alternativa
A alternativa calcula corretamente a parte com raiz da nova área, mas apresenta um total final de 489 + 192√3 cm², acrescentando um termo numérico que não decorre da área lateral, que permanece 240 cm².
Por que engana: Dobrar o lado da base sem ajustar corretamente o perímetro, a área das bases e o comprimento do prisma.
A alternativa considera valores de área das bases muito menores que os obtidos ao aplicar a fórmula a lados de 4 cm e 8 cm. Também não reconhece que as duas bases devem ser contabilizadas.
A alternativa usa 24√3 e 96√3 como contribuições totais das bases, mas esses valores correspondem à área de apenas uma base em cada prisma. Esquece que o invólucro fechado tem duas bases.
No primeiro protótipo, a área total é 2(24 raiz quadrada de 3) + 24(10) = 240 + 48 raiz quadrada de 3 cm². No novo, é 2(96 raiz quadrada de 3) + 48(5) = 240 + 192 raiz quadrada de 3 cm². A diferença é 144 raiz quadrada de 3 cm²; as bases maiores aumentam a área total, enquanto a redução do comprimento mantém a área lateral inalterada.
A alternativa dá à área das bases novas o valor 144√3 cm², embora a soma das duas bases de lado 8 cm seja 192√3 cm². Assim, subestima tanto a área final quanto o aumento.
Raio-X da questão
Área superficial total de prisma reto
avaliacao
Área de polígono regular · Área lateral e área total de prisma
Área de hexágono regular e área total de prisma
Dobrar o lado da base sem ajustar corretamente o perímetro, a área das bases e o comprimento do prisma.
Tecnologia e monitoramento ambiental
cientifico
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