Situação hipotética: para uma instalação de arte contemporânea, serão produzidos dois módulos fechados em…

Questão

Situação hipotética: para uma instalação de arte contemporânea, serão produzidos dois módulos fechados em forma de prisma reto de base hexagonal regular, revestidos integralmente por placas metálicas. No projeto A, cada lado da base mede 2 m e a altura do prisma é 3 m. No projeto B, cada lado da base mede 1,5 m e a altura é 4 m. Cada base hexagonal pode ser decomposta em seis triângulos equiláteros, cuja área é dada por (lado * altura)/2, sendo a altura do triângulo equilátero igual a lado * raiz quadrada de 3/2. Qual projeto demanda menor área de placas metálicas e qual é a diferença entre as áreas totais dos dois módulos? Relacione esse resultado às alterações realizadas nas dimensões.

1. A) O projeto B demanda menor área. A área total do projeto A é 36 + 12 * raiz quadrada de 3 m^2, aproximadamente 56,78 m^2, e a do projeto B é 36 + 27 * raiz quadrada de 3/4 m^2, aproximadamente 47,69 m^2. A diferença é 21 * raiz quadrada de 3/4 m^2, aproximadamente 9,09 m^2. Embora a altura tenha aumentado, as áreas laterais dos dois prismas são iguais a 36 m^2; a redução do lado da base diminui a área das duas bases no projeto B.
2. B) A produção do projeto B requer menor área, com diferença de aproximadamente 15,16 m^2. A área total do projeto A é 36 + 20 * raiz quadrada de 3 m^2, enquanto a do projeto B é 36 + 11,25 * raiz quadrada de 3 m^2. As áreas laterais são iguais; a comparação das bases considera dez triângulos equiláteros em cada hexágono, aumentando a área atribuída a cada módulo.
3. C) O projeto B demanda menor área de placas, com diferença aproximada de 6,82 m^2. A área total do projeto A é 36 + 9 * raiz quadrada de 3 m^2, e a do projeto B é 36 + 5,0625 * raiz quadrada de 3 m^2. As áreas laterais dos módulos são iguais; nas bases, a altura de cada triângulo equilátero foi considerada igual a três quartos do lado, reduzindo a área calculada para os dois projetos.
4. D) A estrutura do projeto B demanda menor área, com diferença de aproximadamente 13,64 m^2. A área total do projeto A é 36 + 18 * raiz quadrada de 3 m^2, e a do projeto B é 36 + 10,125 * raiz quadrada de 3 m^2. As áreas laterais são iguais; a área das bases é calculada como se cada hexágono fosse composto por nove triângulos equiláteros, ampliando a contribuição das bases nos dois módulos.
5. E) A instalação do projeto B demanda menor área, com diferença de aproximadamente 5,30 m^2. A área total do projeto A é 36 + 7 * raiz quadrada de 3 m^2, e a do projeto B é 36 + 3,9375 * raiz quadrada de 3 m^2. As áreas laterais são iguais; para calcular as bases, foram considerados sete triângulos equiláteros ao todo nos dois hexágonos, o que reduz a área de revestimento estimada.

✅ Resposta correta: alternativa A

Resolução passo a passo

1. A área lateral de um prisma reto é o perímetro da base vezes a altura. No projeto A: 6 × 2 × 3 = 36 m². No projeto B: 6 × 1,5 × 4 = 36 m².
2. A área de um hexágono regular é seis vezes a área de um triângulo equilátero, isto é, 3 * lado² * raiz(3)/2. Assim, as duas bases do projeto A somam 12 * raiz(3) m²; no projeto B, somam 6,75 * raiz(3) = 27 * raiz(3)/4 m².
3. As áreas totais são 36 + 12 * raiz(3) ≈ 56,78 m² e 36 + 27 * raiz(3)/4 ≈ 47,69 m². Logo, B demanda menos placas, e a diferença é 21 * raiz(3)/4 ≈ 9,09 m². A altura maior de B não altera a área lateral porque seu perímetro menor compensa o aumento da altura; a redução do lado diminui a área das bases.
4. B erra a decomposição do hexágono ao usar dez triângulos; C usa uma altura incorreta para os triângulos; D considera nove triângulos por hexágono; E conta apenas sete triângulos ao todo. Portanto, essas alternativas calculam incorretamente as áreas das bases.

💡 Dica: Calcule a área lateral de cada prisma e compare-a com a soma das duas áreas hexagonais.

Alternativa por alternativa

Raio-X da questão

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