Em um gráfico de fluxos residenciais de uma cidade, cada ligação entre dois bairros indicava o número de…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Investigar relações entre números expressos em tabelas para representá-los no plano cartesiano, identificando padrões e criando conjecturas para generalizar e expressar algebricamente essa generalização, reconhecendo quando essa representação é de função polinomial de 2º grau do tipo y = ax2.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Em um gráfico de fluxos residenciais de uma cidade, cada ligação entre dois bairros indicava o número de famílias que trocaram de moradia entre esses bairros durante um ano. Para registrar os dados, a equipe técnica organizou a tabela, em que as linhas indicam o bairro de origem e as colunas, o bairro de destino. Situação hipotética elaborada para fins educacionais. | Origem/Destino | Aurora | Bela Vista | Central | Jardim | |---|---:|---:|---:|---:| | Aurora | 6 | 18 | 11 | 7 | | Bela Vista | 18 | 4 | 5 | 9 | | Central | 11 | 5 | 8 | 14 | | Jardim | 7 | 9 | 14 | 3 | Considerando a matriz M formada pelos valores da tabela, com linhas e colunas na ordem apresentada, como a afirmação de que M = M^T deve ser avaliada?
- A) É triangular superior, pois os registros acima da diagonal determinam os valores abaixo dela.
- B) É distinta da transposta, pois as linhas indicam origem e as colunas indicam destino.
- C) É antissimétrica, pois os fluxos de ida e volta se compensam em cada par de bairros.
- D) É válida, pois os registros de cada par de bairros coincidem nos dois sentidos.
- E) É a matriz identidade, pois cada bairro tem um registro correspondente a si próprio.
✅ Resposta correta: alternativa D
Resolução passo a passo
- Uma matriz é igual à sua transposta quando cada elemento da linha i e coluna j coincide com o elemento da linha j e coluna i. Isso caracteriza uma matriz simétrica.
- Na tabela, os valores fora da diagonal coincidem em pares: Aurora–Bela Vista e Bela Vista–Aurora são 18; Aurora–Central e Central–Aurora são 11; e o mesmo ocorre com os demais pares (7, 5, 9 e 14).
- Portanto, M = M^T é válida, como afirma D. A diagonal não precisa conter apenas 1, e os valores simétricos não tornam a matriz triangular nem antissimétrica.
- A alternativa A confunde simetria com triangularidade; B ignora que os valores recíprocos coincidem; C confunde igualdade dos fluxos com compensação por sinais opostos; E confunde a existência de registros na diagonal com a matriz identidade. O gabarito oficial D está correto.
💡 Dica: Compare cada elemento fora da diagonal com o elemento simétrico em relação à diagonal principal.
Alternativa por alternativa
O aluno pode pensar que a igualdade entre os valores acima e abaixo da diagonal torna a matriz triangular superior. Na verdade, a matriz triangular superior tem zeros abaixo da diagonal.
O aluno pode concluir que os papéis diferentes de origem e destino obrigam M a ser diferente de sua transposta. Porém, os valores correspondentes nos dois sentidos são iguais na tabela.
O aluno confunde fluxos recíprocos iguais com uma matriz antissimétrica. Uma matriz antissimétrica exige elementos opostos, m_ij = -m_ji, e não valores iguais.
Ao trocar linhas por colunas, os valores correspondentes permanecem iguais: Aurora-Bela Vista registra 18 nos dois sentidos, Central-Jardim registra 14, e o mesmo ocorre com os demais pares. Portanto, M é igual à sua transposta.
O aluno pode associar os registros de cada bairro consigo mesmo na diagonal à matriz identidade. A identidade teria 1 na diagonal e 0 fora dela, o que não ocorre.
Raio-X da questão
Matriz simétrica: M = Mᵀ.
fixacao
Identificação de linhas, colunas e elementos de uma matriz. · Definição da matriz transposta.
Transposição de matrizes e simetria em relação à diagonal principal.
Confundir a igualdade entre fluxos recíprocos com antissimetria ou com a identidade.
cotidiano
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