Uma academia de bairro registra quantas visitas mensais cada modalidade de plano gera nos períodos da manhã…

Questão

Uma academia de bairro registra quantas visitas mensais cada modalidade de plano gera nos períodos da manhã, da tarde e da noite. As colunas das matrizes correspondem, nessa ordem, aos planos X, Y e Z; as linhas correspondem aos períodos manhã, tarde e noite. Antes de uma mudança na grade de horários, a matriz de visitas por pessoa matriculada era [[2, 1, 1], [1, 2, 1], [1, 1, 2]]. A mudança transferiu uma visita mensal do período da noite para o da tarde apenas no plano Z, produzindo a matriz [[2, 1, 1], [1, 2, 2], [1, 1, 1]]. Após a mudança, foram registradas 170 visitas pela manhã, 190 à tarde e 120 à noite. Considere que o número de pessoas matriculadas em cada plano é um inteiro não negativo. Que informação sobre o número de pessoas matriculadas em cada plano pode ser recuperada dos registros após a mudança, e quantas distribuições inteiras entre os planos Y e Z são compatíveis com eles?

1. A) Os registros permitem concluir que há 60 pessoas matriculadas no plano X e 60 ao todo nos planos Y e Z, mas não permitem determinar separadamente as matrículas de Y e Z. Como as colunas correspondentes a esses planos na nova matriz são iguais, qualquer distribuição inteira não negativa com Y + Z = 60 é compatível com os registros: há 61 distribuições possíveis.
2. B) Os registros permitem concluir que há 50 pessoas matriculadas no plano X e que os planos Y e Z têm 35 pessoas cada. Como as colunas correspondentes a esses planos na nova matriz são iguais, os registros não os distinguem; adotando a divisão equilibrada do total entre eles, obtém-se uma distribuição inteira compatível com os dados.
3. C) Os registros permitem concluir que há 50 pessoas matriculadas no plano X e 70 ao todo nos planos Y e Z, mas não permitem determinar separadamente as matrículas de Y e Z. Como as colunas correspondentes a esses planos na nova matriz são iguais, qualquer distribuição inteira não negativa com Y + Z = 70 é compatível com os registros: há 71 distribuições possíveis.
4. D) Pelos registros, há 40 pessoas matriculadas no plano X e 80 ao todo nos planos Y e Z, sem que seja possível separar as matrículas desses dois planos. Como as colunas correspondentes a Y e Z na nova matriz são iguais, as distribuições inteiras não negativas com Y + Z = 80 são compatíveis com os dados, totalizando 81 possibilidades.
5. E) Os dados indicam 50 pessoas matriculadas no plano X e 60 ao todo nos planos Y e Z, sem discriminar as quantidades de cada um deles. Como as colunas de Y e Z são iguais na matriz após a mudança, as distribuições inteiras não negativas que somam 60 atendem aos registros, correspondendo a 61 possibilidades.

✅ Resposta correta: alternativa C

Resolução passo a passo

1. Sejam x, y e z as matrículas nos planos X, Y e Z. Pela matriz após a mudança, os registros geram: 2x + y + z = 170 (manhã), x + 2y + 2z = 190 (tarde) e x + y + z = 120 (noite).
2. Subtraindo a equação da noite da manhã, obtemos x = 50. Então y + z = 120 − 50 = 70. A equação da tarde fica satisfeita: 50 + 2(70) = 190.
3. As colunas de Y e Z são iguais, portanto os registros determinam apenas a soma das matrículas desses planos. Como y e z são inteiros não negativos e somam 70, y pode assumir os valores de 0 a 70, totalizando 71 distribuições. Assim, C está correta.
4. A e E erram os totais obtidos das equações; B afirma uma divisão específica que os dados não determinam e que nem soma 70; D apresenta valores incompatíveis com os registros. O gabarito oficial C coincide com a resolução.

💡 Dica: Use as equações das linhas para determinar X e a soma Y+Z; conte os pares inteiros não negativos que somam esse total.

Alternativa por alternativa

Raio-X da questão

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