Em um ensaio de monitoramento de folhas de um cafezal, sensores registram duas leituras normalizadas por…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Investigar conjuntos de dados relativos ao comportamento de duas variáveis numéricas, usando ou não tecnologias da informação, e, quando apropriado, levar em conta a variação e utilizar uma reta para descrever a relação observada.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Em um ensaio de monitoramento de folhas de um cafezal, sensores registram duas leituras normalizadas por amostra. Para duas amostras usadas na calibração, as linhas da matriz X contêm as leituras dos canais 1 e 2, nessa ordem: X = [[1, 1], [1, 2]]. Uma equipe associa essas leituras a dois indicadores de condição das folhas e organiza os valores de referência, na mesma ordem das amostras, na matriz B = [[1, 4], [0, 7]]. O modelo adotado é X*T = B, em que T é uma matriz de transformação comum às amostras. Uma terceira amostra apresentou as leituras [3, 1]. Qual matriz T e qual par de indicadores o modelo fornece para a terceira amostra?
- A) T = [[-2, 3], [-7, 7]]; para a terceira amostra, o par de indicadores é [-13, 16]
- B) T = [[1, 4], [0, 7]]; para a terceira amostra, o par de indicadores é [3, 19]
- C) T = [[-1, 3], [2, -7]]; para a terceira amostra, o par de indicadores é [-1, 2]
- D) T = [[2, -1], [1, 3]]; para a terceira amostra, o par de indicadores é [7, 0]
- E) T = [[2, 1], [-1, 3]]; para a terceira amostra, o par de indicadores é [5, 6]
✅ Resposta correta: alternativa E
Resolução passo a passo
- DISCORDANCIA.CORRETA:A Passo 1: Como X*T=B e X=[[1,1],[1,2]], as linhas de X são independentes, então T é determinada por T=X^(-1)*B. A inversa de X é [[2,-1],[-1,1]].
- Multiplicando, T=[[2,-1],[-1,1]]*[[1,4],[0,7]]=[[2,1],[-1,3]].
- Para a terceira amostra, [3,1]*T=[3,1]*[[2,1],[-1,3]]=[5,6]. Portanto, a alternativa E está correta. O gabarito oficial coincide com o cálculo.
- A: usa outra matriz T, que não satisfaz X*T=B; seus indicadores decorrem dessa matriz incorreta. B: toma B como se fosse T e, além disso, o par calculado não resulta corretamente dessa multiplicação. C e D: também propõem matrizes que não satisfazem a calibração X*T=B, produzindo pares incompatíveis com o modelo.
💡 Dica: Resolva X*T=B por colunas e multiplique [3,1] por T.
Alternativa por alternativa
Multiplica as matrizes na ordem invertida: B*X^(-1), com X^(-1)=[[2,-1],[-1,1]], obtendo [[1,4],[0,7]]*[[2,-1],[-1,1]]=[[-2,3],[-7,7]]. Assim, [3,1]*T=[3*(-2)+1*(-7),3*3+1*7]=[-13,16]. A ordem correta para isolar T é X^(-1)*B.
Toma diretamente B como se fosse T, sem resolver X*T=B; então [3, 1]*B = [3*1+1*0, 3*4+1*7] = [3, 19]. Isso ignora o efeito da matriz X sobre as leituras.
Por que engana: Usar a ordem de multiplicação incorreta ou calcular T sem verificar X*T=B.
Lê as linhas de X na ordem trocada e usa [[1,1],[2,1]] para calcular T. Sua inversa é [[-1,1],[2,-1]], e [[-1,1],[2,-1]]*B=[[-1,3],[2,-7]]. Logo, [3,1]*T=[3*(-1)+1*2,3*3+1*(-7)]=[-1,2]. A amostra e a ordem dos canais não autorizam trocar as linhas de X.
Transpõe a matriz obtida, trocando suas linhas e colunas: T = [[2, -1], [1, 3]]. Com essa matriz, [3, 1]*T = [3*2+1*1, 3*(-1)+1*3] = [7, 0]. A transformação não deve ser transposta, pois o modelo já especifica X*T=B.
Como o determinante de X é 1, X é invertível e T = X^(-1)*B. O cálculo resulta em T = [[2, 1], [-1, 3]]. Aplicando o modelo à terceira amostra: [3, 1]*T = [5, 6].
Raio-X da questão
Resolução de sistema matricial e transformação de vetor por matriz.
fixacao
Multiplicação de matrizes. · Resolução de sistemas lineares 2×2.
Multiplicação de matrizes e sistemas lineares.
Usar a ordem de multiplicação incorreta ou calcular T sem verificar X*T=B.
cientifico
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