Na rodoviária de uma cidade, uma alteração temporária na circulação entre duas plataformas redireciona parte…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Resolver e elaborar problemas do cotidiano, da Matemática e de outras áreas do conhecimento, que envolvem equações lineares simultâneas, usando técnicas algébricas e gráficas, com ou sem apoio de tecnologias digitais.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Na rodoviária de uma cidade, uma alteração temporária na circulação entre duas plataformas redireciona parte das pessoas que aguardam embarque. O vetor coluna inicial é x = [[240], [120]], em que a primeira componente corresponde à plataforma A e a segunda, à plataforma B. Na primeira mudança, 1/4 das pessoas da plataforma A passa para B, enquanto 1/3 das pessoas de B passa para A. Depois, uma nova organização dos embarques faz com que 1/5 das pessoas então em A passe para B e 1/4 das pessoas então em B passe para A. As matrizes de transição, que multiplicam o vetor coluna à esquerda e são aplicadas na ordem em que as mudanças ocorrem, são M1 = [[3/4, 1/3], [1/4, 2/3]] e M2 = [[4/5, 1/4], [1/5, 3/4]]. Após as duas mudanças na circulação, qual vetor coluna representa a quantidade de pessoas que aguarda em cada plataforma?
- A) 193 pessoas na plataforma A e 167 pessoas na plataforma B
- B) 194,5 pessoas na plataforma A e 165,5 pessoas na plataforma B
- C) 211 pessoas na plataforma A e 149 pessoas na plataforma B
- D) 240 pessoas na plataforma A e 160 pessoas na plataforma B
- E) 222 pessoas na plataforma A e 138 pessoas na plataforma B
✅ Resposta correta: alternativa C
Resolução passo a passo
- DISCORDANCIA.CORRETA:B Passo 1: Aplicamos a primeira matriz ao vetor inicial: M1x = (3/4 × 240 + 1/3 × 120, 1/4 × 240 + 2/3 × 120) = (220, 140).
- Aplicamos a segunda mudança ao resultado: M2(220, 140) = (4/5 × 220 + 1/4 × 140, 1/5 × 220 + 3/4 × 140) = (211, 149).
- Portanto, a resposta calculada é C, não B. A alternativa C corresponde a 211 pessoas em A e 149 em B. O gabarito oficial C está correto; a letra_correta deve ser C.
💡 Dica: Calcule M1x primeiro e multiplique o resultado por M2.
Alternativa por alternativa
Após obter 220 e 140, troca as parcelas que permanecem em cada plataforma pelas parcelas que migram: A = 3/4 x 220 + 1/5 x 140 = 193; B = 1/4 x 220 + 4/5 x 140 = 167. Assim, interpreta incorretamente os coeficientes da segunda transição.
Na primeira mudança, usa 2/3 como parcela que permanece em A e 1/3 como parcela que passa para B: A = 2/3 x 240 + 1/4 x 120 = 190; B = 1/3 x 240 + 3/4 x 120 = 170. Depois aplica a segunda transição: A = 4/5 x 190 + 1/4 x 170 = 194,5; B = 1/5 x 190 + 3/4 x 170 = 165,5. O erro é usar coeficientes da primeira matriz na plataforma errada.
A primeira transição produz M1x = [[220], [140]]. Aplicando em seguida a segunda, M2[[220], [140]] = [[211], [149]], portanto essas são as quantidades finais nas plataformas A e B.
Usa a matriz transposta na primeira mudança: A = 3/4 x 240 + 1/4 x 120 = 210; B = 1/3 x 240 + 2/3 x 120 = 160. A conta para A, porém, não resulta em 240; essa alternativa não corresponde a uma conta válida conforme a explicação.
Aplica a segunda matriz diretamente às quantidades iniciais: A = 4/5 x 240 + 1/4 x 120 = 222; B = 1/5 x 240 + 3/4 x 120 = 138. O cálculo ignora a primeira mudança na circulação.
Por que engana: Aplicar as matrizes na ordem inversa ou usar o vetor inicial nas duas etapas.
Raio-X da questão
Aplicação sequencial de matrizes de transição a um vetor coluna.
fixacao
Multiplicação de matriz por vetor coluna. · Operações com frações e interpretação de componentes de vetores.
Multiplicação de matrizes e vetores coluna.
Aplicar as matrizes na ordem inversa ou usar o vetor inicial nas duas etapas.
cotidiano
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