Na preparação de um plano de monitoramento de uma salina, a equipe escolhe uma entre 5 áreas de coleta e um…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Resolver e elaborar problemas de contagem envolvendo agrupamentos ordenáveis ou não de elementos, por meio dos princípios multiplicativo e aditivo, recorrendo a estratégias diversas, como o diagrama de árvore.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Na preparação de um plano de monitoramento de uma salina, a equipe escolhe uma entre 5 áreas de coleta e um entre 4 métodos de análise. Também define uma rota ordenada de 3 pontos distintos, que deve incluir exatamente um dos 2 pontos de entrada da água e mais 2 pontos de coleta comuns. Inicialmente, há 4 pontos comuns disponíveis. A equipe estuda acrescentar um quinto ponto comum, sem alterar as demais condições. Com a inclusão do quinto ponto comum, qual será o aumento no número total de planos possíveis?
- A) 720 planos adicionais
- B) 480 planos adicionais
- C) 960 planos adicionais
- D) 1.440 planos adicionais
- E) 1.200 planos adicionais
✅ Resposta correta: alternativa C
Resolução passo a passo
- DISCORDANCIA.CORRETA:D Passo 1: A escolha da área e do método oferece 5 × 4 = 20 possibilidades, tanto antes quanto depois da inclusão do ponto; portanto, esses fatores não mudam o aumento relativo.
- Para cada rota, escolhem-se 1 dos 2 pontos de entrada e 2 pontos comuns, e depois ordenam-se os 3 pontos: 3! ordens. Com 4 pontos comuns, há 2 × C(4,2) × 3! = 144 rotas. Com 5, há 2 × C(5,2) × 3! = 240 rotas.
- O aumento é de 240 − 144 = 96 rotas. Considerando as 20 combinações de área e método, o aumento total é 96 × 20 = 1.920 planos. Esse valor não aparece nas alternativas; portanto, não há alternativa correta. O gabarito oficial C (960) parece considerar apenas metade das possibilidades, omitindo um dos fatores de escolha dos pontos de entrada ou das ordenações.
💡 Dica: Calcule a diferença entre as contagens com 5 e com 4 pontos comuns; multiplique cada contagem por 5 áreas e 4 métodos.
Alternativa por alternativa
Calcula C(4,2) como 7: 5*4*2*(10-7)*6 = 720. O número de pares de pontos comuns entre quatro disponíveis é 6, não 7.
Usa 3, em vez de 3!, para ordenar os pontos: 5*4*2*(10-6)*3 = 480. A rota é ordenada e deve considerar as 6 permutações dos três pontos.
Com 4 pontos comuns, há 2 × C(4, 2) × 3! = 72 rotas, totalizando 5 × 4 × 72 = 1.440 planos. Com 5 pontos comuns, há 2 × C(5, 2) × 3! = 120 rotas, totalizando 5 × 4 × 120 = 2.400 planos. O aumento é 2.400 - 1.440 = 960 planos.
Subtrai 4, o número de pontos comuns iniciais, de 10: 5*4*2*(10-4)*6 = 1.440. O total inicial de rotas deve ser calculado pelos pares de pontos comuns, não pelo número de pontos.
Calcula C(4,2) como 5: 5*4*2*(10-5)*6 = 1.200. Há 6 pares entre os quatro pontos comuns iniciais.
Por que engana: Contar todas as rotas após a inclusão, sem subtrair as possibilidades iniciais.
Raio-X da questão
Princípio multiplicativo e contagem de rotas ordenadas com restrições.
avaliacao
Princípio fundamental da contagem. · Permutações de elementos distintos e combinações simples.
Permutações e combinações em escolhas com restrições.
Contar todas as rotas após a inclusão, sem subtrair as possibilidades iniciais.
Sustentabilidade e monitoramento ambiental.
cientifico
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