Durante um treino em uma quadra de vôlei, uma equipe de oito atletas - dois levantadores, três atacantes e…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Resolver e elaborar problemas de contagem envolvendo agrupamentos ordenáveis ou não de elementos, por meio dos princípios multiplicativo e aditivo, recorrendo a estratégias diversas, como o diagrama de árvore.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Durante um treino em uma quadra de vôlei, uma equipe de oito atletas - dois levantadores, três atacantes e três defensores - prepara uma sequência filmada. Para cada gravação, escolhe, nessa ordem, um levantador, um atacante, um defensor e, por fim, outro atleta ainda não escolhido. Também seleciona uma entre três zonas de saque e uma entre duas cores de bola. Uma integrante da equipe afirma que há 864 gravações possíveis, pois considerou oito opções para a quarta escolha de atleta. Considerando o texto, como essa afirmação deve ser avaliada?
- A) São 648 gravações, pois restariam 6 atletas na quarta escolha, com zonas e cores.
- B) São 270 gravações, pois a equipe escolhe uma zona de saque, sem distinguir a cor.
- C) A contagem é 540, pois a quarta escolha deve ser feita entre 5 atletas ainda não selecionados.
- D) São 432 gravações, pois a quarta escolha teria 4 opções, além das zonas e cores.
- E) A contagem é 864, pois a quarta escolha teria 8 opções, além das zonas e cores.
✅ Resposta correta: alternativa C
Resolução passo a passo
- As três primeiras escolhas seguem funções diferentes: há 2 opções de levantador, 3 de atacante e 3 de defensor. Isso produz 2 × 3 × 3 = 18 sequências parciais.
- Como já foram escolhidos três atletas distintos, restam 8 − 3 = 5 opções para o quarto atleta. Portanto, há 18 × 5 = 90 escolhas de atletas.
- Para cada sequência, há 3 zonas de saque e 2 cores de bola, totalizando 90 × 3 × 2 = 540 gravações. Logo, C está correta; considerar 8 opções na quarta escolha repete a possibilidade de escolher atletas já selecionados.
- A está errada porque usa 6 opções, e não 5, para o quarto atleta. B desconsidera as cores e também não chega ao total correto. D usa 4 opções, embora restem 5 atletas. E usa 8 opções, incluindo atletas já escolhidos.
💡 Dica: Multiplique as opções sucessivas e conte apenas os atletas ainda não escolhidos na quarta etapa.
Alternativa por alternativa
A pessoa percebe que a quarta escolha deve excluir atletas já selecionados, mas subtrai apenas dois e usa seis opções, quando três atletas já foram escolhidos.
A pessoa deixa de multiplicar pelas duas possibilidades de cor e, além disso, não contabiliza corretamente as escolhas dos atletas.
As três primeiras escolhas têm, respectivamente, 2, 3 e 3 opções. Depois delas, restam 5 atletas para a quarta escolha. Com as 3 zonas de saque e as 2 cores de bola, o total é 2 × 3 × 3 × 5 × 3 × 2 = 540.
A pessoa considera que restam quatro atletas, provavelmente descontando uma escolha a mais; após três escolhas distintas, restam cinco dos oito.
A pessoa conta todos os oito atletas como opções para a quarta escolha, embora três deles já tenham sido selecionados e não possam ser repetidos.
Por que engana: Contar novamente os atletas já escolhidos na quarta escolha.
Raio-X da questão
Princípio multiplicativo com escolhas ordenadas e sem reposição.
fixacao
Princípio multiplicativo da contagem. · Contagem de opções restantes sem reposição.
Contagem de agrupamentos ordenáveis com restrição de repetição.
Contar novamente os atletas já escolhidos na quarta escolha.
cotidiano
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