Uma equipe de um observatório brasileiro está criando identificadores numéricos de quatro algarismos para…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Identificar e descrever o espaço amostral de eventos aleatórios, realizando contagem das possibilidades, para resolver e elaborar problemas que envolvem o cálculo da probabilidade.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Uma equipe de um observatório brasileiro está criando identificadores numéricos de quatro algarismos para equipamentos de campo. Cada identificador usa algarismos distintos, escolhidos entre 0 e 7, não pode começar por zero e deve terminar em um algarismo par. Ao revisar o procedimento, uma técnica afirmou que há 840 identificadores possíveis, pois considerou 4 opções para o último algarismo e, em seguida, 7, 6 e 5 opções para as demais posições. A afirmação da técnica está correta? Avalie o procedimento e determine o número de identificadores possíveis, considerando todas as restrições descritas.
- A) A afirmação está incorreta: há 750 identificadores possíveis. Se o último algarismo for 0, há 7 opções para o primeiro e 6 e 5 para as posições intermediárias, totalizando 210. Se o último for 2, 4 ou 6, há 6 opções para o primeiro e 6 e 5 para as posições intermediárias, totalizando 180 para cada um desses três casos. Assim, 210 + 3 × 180 = 750.
- B) A afirmação está incorreta: há 720 identificadores possíveis. Para cada um dos quatro algarismos pares finais, há seis opções para a primeira posição e, em seguida, seis e cinco opções para as posições intermediárias.
- C) A afirmação está incorreta: há 660 identificadores possíveis. Quando o identificador termina em zero, há sete opções para a primeira posição e seis e cinco para as posições intermediárias; nos demais casos, há seis opções para a primeira e cinco para cada posição intermediária.
- D) A afirmação está correta: há 840 identificadores possíveis. Como há quatro algarismos pares para a última posição, restam sete opções para a primeira e, depois, seis e cinco opções para as posições intermediárias.
- E) A afirmação está incorreta: há 630 identificadores possíveis. Para o final zero, consideram-se seis opções para a primeira posição e seis e cinco para as posições intermediárias; para cada outro final par, consideram-se seis, cinco e cinco opções.
✅ Resposta correta: alternativa A
Resolução passo a passo
- Separe os casos pelo último algarismo, que deve ser par: 0, 2, 4 ou 6. Ao fazer a contagem, o primeiro algarismo não pode ser zero. Passo 2: Caso final 0. O primeiro algarismo pode ser qualquer um de 1 a 7, ou seja, 7 opções. Restam 6 algarismos para a segunda posição e 5 para a terceira. Total: 7 x 6 x 5 = 210. Passo 3: Caso final 2, 4 ou 6. O primeiro algarismo deve ser diferente de zero e diferente do último, então são 6 opções (1 a 7, sem o final). Para a segunda posição sobram 6 algarismos, pois o zero continua disponível no meio. Para a terceira restam 5. Total por final: 6 x 6 x 5 = 180. Como há três finais desse tipo, o total é 3 x 180 = 540. Passo 4: Some os casos: 210 + 540 = 750. Portanto a técnica errou ao afirmar 840, e a alternativa A, com 750, está correta, coincidindo com o gabarito oficial. Por que as outras estão erradas: B usa 6 opções para o primeiro algarismo em todos os finais, incluindo o zero, o que subestima o caso final 0. C faz 6 x 5 x 5 nos finais não nulos, esquecendo que a segunda posição ainda tem 6 opções. D ignora a restrição de não começar por zero, dando 7 opções para o primeiro algarismo em todos os casos. E usa 6 opções no primeiro algarismo do caso zero e 5 na segunda posição dos demais finais, contando errado ambos os casos.
💡 Dica: Separe o caso em que o último algarismo é zero dos casos em que é 2, 4 ou 6.
Alternativa por alternativa
A contagem precisa separar o caso em que o último algarismo é 0 dos casos em que é 2, 4 ou 6. A técnica multiplicou as opções como se a quantidade disponível para a primeira posição fosse sempre a mesma, embora o zero não possa ocupá-la; por isso, sua contagem está incorreta.
O aluno supõe que o primeiro algarismo tem sempre 6 opções e que os quatro finais pares se comportam igualmente, sem perceber que o final 0 libera o 0 do início do número e que o primeiro algarismo pode ser 1 a 7.
O aluno trata corretamente o caso final zero, mas nas posições intermediárias dos finais 2, 4 e 6 reduz a segunda posição para 5 opções, esquecendo que o zero continua disponível para ela.
O aluno ignora a restrição de que o identificador não pode começar por zero e considera 7 opções para o primeiro algarismo em todos os casos, o que superconta quando o último algarismo é 2, 4 ou 6, pois o primeiro passa a ter 6 opções.
Por que engana: Contar sete opções para a primeira posição mesmo quando o último algarismo é diferente de zero, ou usar a mesma contagem para todos os finais pares.
O aluno calcula o caso final zero com 6 opções para o primeiro algarismo, quando são 7 (de 1 a 7), e nos demais finais reduz a segunda posição para 5, esquecendo que sobram 6 algarismos para ela.
Raio-X da questão
Princípio multiplicativo com restrições posicionais e sem repetição.
Contar identificador
Princípio fundamental da contagem. · Contagem de arranjos sem repetição e restrição do zero inicial.
Contagem por casos e permutações com restrições.
Contar sete opções para a primeira posição mesmo quando o último algarismo é diferente de zero, ou usar a mesma contagem para todos os finais pares.
Identificadores de e
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