Durante um teste em uma instalação de captação de água, uma caixa-d’água foi acompanhada por 8 minutos. O…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Investigar relações entre números expressos em tabelas para representá-los no plano cartesiano, identificando padrões e criando conjecturas para generalizar e expressar algebricamente essa generalização, reconhecendo quando essa representação é de função polinomial de 2º grau do tipo y = ax2.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Durante um teste em uma instalação de captação de água, uma caixa-d’água foi acompanhada por 8 minutos. O volume registrado era de 240 litros no início, 400 litros após 4 minutos e 624 litros após 8 minutos. Uma técnica propôs representar o volume V, em litros, após t minutos por uma função polinomial do 2º grau, V(t) = at² + bt + c, e afirmou que a caixa atingiria 600 litros exatamente 8 minutos após o início do teste. Considerando os dados e a resolução apresentada no texto, como essa afirmação deve ser avaliada?
- A) A afirmação está incorreta: os dados determinam V(t) = 2t² + 32t + 240, e V(8) = 624 litros; o volume de 600 litros é atingido cerca de 7,62 minutos após o início.
- B) A afirmação está inadequada: considerando um crescimento linear de 48 litros por minuto, a caixa teria 624 litros após 8 minutos e chegaria a 600 litros em 7,5 minutos.
- C) A afirmação está incorreta: com V(t) = 3t² + 28t + 240, o volume seria 656 litros aos 8 minutos, e 600 litros seriam alcançados cerca de 7,24 minutos após o início.
- D) A afirmação está incorreta: usando V(t) = t² + 36t + 240, a caixa teria 560 litros após 8 minutos e atingiria 592 litros cerca de 8,66 minutos após o início.
- E) A afirmação está incorreta: usando V(t) = 2t² + 28t + 240, a caixa teria 592 litros após 8 minutos e atingiria 600 litros cerca de 8,13 minutos após o início.
✅ Resposta correta: alternativa A
Resolução passo a passo
- Montar o sistema com os dados. Em t=0, V=240, logo c=240. Em t=4, V=400: 16a + 4b + 240 = 400, ou seja, 16a + 4b = 160, que simplificado fica 4a + b = 40. Em t=8, V=624: 64a + 8b + 240 = 624, ou seja, 64a + 8b = 384, que simplificado fica 8a + b = 48.
- Resolver o sistema. Subtraindo as duas equações simplificadas: (8a + b) - (4a + b) = 48 - 40, logo 4a = 8 e a = 2. Substituindo em 4a + b = 40: 8 + b = 40, logo b = 32. Portanto V(t) = 2t^2 + 32t + 240.
- Verificar o valor em t=8: V(8) = 2(64) + 32(8) + 240 = 128 + 256 + 240 = 624 litros, o que confere com o dado do enunciado.
- Calcular quando V = 600: 2t^2 + 32t + 240 = 600, ou seja, 2t^2 + 32t - 360 = 0, que dividido por 2 fica t^2 + 16t - 180 = 0. Por Bhaskara, delta = 256 + 720 = 976, raiz de 976 é aproximadamente 31,24, e t = (-16 + 31,24)/2 ≈ 7,62 minutos. Como 7,62 é diferente de 8, a afirmação da técnica está incorreta. A alternativa A descreve exatamente esse resultado, por isso é a correta, em concordância com o gabarito oficial.
- Por que as outras estão erradas. B: assume crescimento linear, o que contradiz o caráter quadrático proposto pela técnica. C: os coeficientes 3t^2 + 28t não reproduzem os pontos dados (V(4) não daria 400). D: os coeficientes t^2 + 36t não satisfazem V(4)=400 nem V(8)=624. E: 2t^2 + 28t daria V(8)=592, não 624, portanto não se ajusta aos dados.
💡 Dica: Monte o sistema com V(0)=240, V(4)=400 e V(8)=624 para achar a, b e c, depois confira V(8) e resolva V(t)=600.
Alternativa por alternativa
Substituindo os três pares de valores em V(t) = at² + bt + c, obtêm-se c = 240, 4a + b = 40 e 8a + b = 48, logo a = 2 e b = 32. Assim, V(8) = 624, não 600. Para V(t) = 600, a solução positiva de t² + 16t - 180 = 0 é t = -8 + 2raiz de 61, aproximadamente 7,62 minutos.
O aluno supõe que o volume cresce de forma constante (48 litros por minuto) porque 624 - 240 = 384 e 384/8 = 48, ignorando que os dados mostram crescimento não linear.
O aluno calcula coeficientes sem respeitar todos os pontos dados, errando na montagem do sistema e não verificando V(4) = 400.
O aluno toma o coeficiente linear de forma arbitrária e não substitui os valores de t para checar o ajuste aos dados, sendo levado a um modelo que não passa pelos pontos.
O aluno acerta o termo quadrático, mas erra o coeficiente linear (28 em vez de 32), o que indica um erro de cálculo na resolução do sistema.
Por que engana: Supor crescimento linear de 48 litros por minuto ou trocar os coeficientes na funcao.
Raio-X da questão
Funcao polinomial do 2o grau e sistemas de equacoes.
avaliacao
Resolucao de sistemas lineares 3x3. · Equacao do 2o grau e substituicao numerica.
Determinacao de funcao quadratica a partir de pontos.
Supor crescimento linear de 48 litros por minuto ou trocar os coeficientes na funcao.
Uso racional da agua.
cientifico
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