Em um laboratório escolar, uma câmara de aquecimento é acompanhada durante um ciclo de teste. A equipe…

Questão

Em um laboratório escolar, uma câmara de aquecimento é acompanhada durante um ciclo de teste. A equipe registra as temperaturas em três instantes: no início, aos 0 minutos, a temperatura é 18 °C; aos 2 minutos, é 30 °C; e aos 4 minutos, é 34 °C. Para descrever a variação nesse ciclo, a equipe adota um modelo quadrático T(t) = at^2 + bt + c, em que t é o tempo, em minutos, contado desde o início. O ciclo analisado termina aos 8 minutos, e a faixa de operação desejada é de 30 °C a 35 °C, inclusive. Determine a função quadrática que modela a temperatura nesse ciclo e o intervalo de tempo, dentro dos 8 minutos analisados, em que a câmara permanece na faixa de operação desejada. Apresente os cálculos e justifique a interpretação do intervalo.

✍️ Questão dissertativa: veja abaixo a resposta esperada e a explicação.

Resposta esperada

Substituindo as medições em T(t) = at^2 + bt + c, obtém-se c = 18, 4a + 2b = 12 e 16a + 4b = 16. Daí, a = -1 e b = 8, portanto T(t) = -t^2 + 8t + 18. A parábola tem concavidade para baixo e vértice em t = 4, com temperatura máxima T(4) = 34 °C, abaixo do limite superior de 35 °C. Para encontrar quando T(t) está entre 30 °C e 35 °C, basta resolver T(t) >= 30: -t^2 + 8t + 18 >= 30, ou (t - 2)(t - 6) <= 0. Assim, a câmara permanece na faixa desejada do minuto 2 ao minuto 6, inclusive. Como a temperatura máxima é 34 °C, não há instante em que ela ultrapasse 35 °C.

Explicação

As três medições determinam os coeficientes do modelo. A concavidade para baixo e o vértice mostram que a temperatura máxima é 34 °C, então o limite de 35 °C não restringe o intervalo. A condição de temperatura mínima de 30 °C é satisfeita entre as raízes t = 2 e t = 6, ambas pertencentes ao ciclo analisado.

Raio-X da questão

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