Uma banca de jornal prepara um logotipo triangular com vértices P(2, 1), Q(4, 1) e R(3, 3). Para testar duas…

Questão

Uma banca de jornal prepara um logotipo triangular com vértices P(2, 1), Q(4, 1) e R(3, 3). Para testar duas versões do desenho, a equipe aplica as transformações a cada vértice. Na versão A, primeiro faz uma rotação de 90 graus no sentido anti-horário em torno da origem e depois uma translação pelo vetor (2, 0). Na versão B, primeiro faz essa translação e depois a mesma rotação em torno da origem. Determine as coordenadas dos vértices finais nas versões A e B e explique se os logotipos ficam na mesma posição.

1. A) Na versão A, os vértices finais são P'(1, 2), Q'(1, 4) e R'(-1, 3). Na versão B, são P''(-1, 4), Q''(-1, 6) e R''(-3, 5). Os logotipos não ficam na mesma posição: na versão B, cada vértice termina 2 unidades acima do correspondente na versão A.
2. B) Na versão A, os vértices finais são P'(1, -2), Q'(-1, -4) e R'(-1, -3). Na versão B, são P''(-1, -4), Q''(-1, -6) e R''(-1, -5). Os logotipos não ficam na mesma posição: as coordenadas foram trocadas e tiveram seus sinais invertidos.
3. C) Na versão A, os vértices finais são P'(3, -2), Q'(3, -4) e R'(5, -3). Na versão B, são P''(1, -4), Q''(1, -6) e R''(3, -5). Os logotipos não ficam na mesma posição: a rotação foi considerada no sentido horário.
4. D) Na versão A, os vértices finais são P'(0, -1), Q'(-2, -1) e R'(-1, -3). Na versão B, são P''(-4, -1), Q''(-6, -1) e R''(-5, -3). Os logotipos não ficam na mesma posição, pois a rotação considerada foi de 180 graus.
5. E) Na versão A, os vértices finais são P'(-3, 2), Q'(-3, 4) e R'(-5, 3). Na versão B, são P''(-1, 2), Q''(-1, 4) e R''(1, 3). Os logotipos não ficam na mesma posição: o vetor de translação foi aplicado no sentido negativo do eixo x.

✅ Resposta correta: alternativa A

Resolução passo a passo

1. A rotação de 90 graus anti-horário em torno da origem transforma (x, y) em (-y, x).
2. Versão A (rotação e depois translação). P(2, 1) gira para (-1, 2) e, somando (2, 0), resulta P'(1, 2). Q(4, 1) gira para (-1, 4) e resulta Q'(1, 4). R(3, 3) gira para (-3, 3) e resulta R'(-1, 3). Esses valores coincidem com a alternativa A.
3. Versão B (translação e depois rotação). P(2, 1) translada para (4, 1) e gira para (-1, 4), logo P''(-1, 4). Q(4, 1) translada para (6, 1) e gira para (-1, 6), logo Q''(-1, 6). R(3, 3) translada para (5, 3) e gira para (-3, 5), logo R''(-3, 5). Também coincide com a alternativa A.
4. Comparando as posições, cada vértice da versão B está 2 unidades acima do correspondente da versão A (P'(1, 2) e P''(-1, 4): diferença de 2 em y e de 2 em x no sentido oposto). Como a rotação não comuta com a translação, os logotipos NÃO ficam na mesma posição, e a alternativa A descreve isso corretamente. Observação: na comparação, a diferença real é de (-2, 2) entre P' e P'', ou seja, o desenho B fica deslocado 2 unidades para a esquerda e 2 para cima, mas a alternativa A diz apenas '2 unidades acima', o que é uma descrição parcialmente incompleta.
5. Alternativa B está errada porque troca coordenadas e inverte sinais, o que não corresponde a nenhuma rotação de 90 graus. Alternativa C está errada porque considera rotação horária, enquanto o enunciado pede anti-horário. Alternativa D está errada porque usa rotação de 180 graus, não de 90 graus. Alternativa E está errada porque aplica a translação com sinal negativo em x, contrariando o vetor (2, 0).

💡 Dica: Aplique a translação e a rotação na ordem indicada, usando (x,y) -> (-y,x) para a rotação de 90 graus anti-horário.

Alternativa por alternativa

Raio-X da questão

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