Em um painel digital, o triângulo PQR, com vértices P(1,1), Q(2,1) e R(1,2), será transformado para compor a…

Questão

Em um painel digital, o triângulo PQR, com vértices P(1,1), Q(2,1) e R(1,2), será transformado para compor a identidade visual de uma campanha. O sistema de edição aplica três operações geométricas, sempre na ordem indicada: rotação de 90° no sentido anti-horário em torno da origem, translação pelo vetor (6,3) e homotetia de razão 2 com centro C(1,0). Após as operações, o sistema registra os vértices P'(9,8), Q'(9,10) e R'(7,8). Com base nas coordenadas do triângulo inicial e do triângulo final, qual sequência de transformações geométricas produz exatamente os vértices P'(9,8), Q'(9,10) e R'(7,8)?

1. A) Translação pelo vetor (6,3); rotação de 90° no sentido anti-horário em torno da origem; homotetia de razão 2 com centro C(1,0).
2. B) Rotação de 90° no sentido anti-horário em torno da origem; translação pelo vetor (6,3); homotetia de razão 2 com centro C(1,0).
3. C) Rotação de 90° no sentido horário em torno da origem; translação pelo vetor (6,3); homotetia de razão 2 com centro C(1,0).
4. D) Rotação de 90° no sentido anti-horário em torno da origem; homotetia de razão 2 com centro C(1,0); translação pelo vetor (6,3).
5. E) Homotetia de razão 2 com centro C(1,0); rotação de 90° no sentido anti-horário em torno da origem; translação pelo vetor (6,3).

✅ Resposta correta: alternativa B

Resolução passo a passo

1. Aplique a rotação de 90° anti-horário em torno da origem, que transforma (x,y) em (-y,x). Assim P(1,1) vai para (-1,1), Q(2,1) vai para (-1,2) e R(1,2) vai para (-2,1).
2. Aplique a translação pelo vetor (6,3), somando 6 à abscissa e 3 à ordenada. Obtemos (5,4), (5,5) e (4,4).
3. Aplique a homotetia de razão 2 com centro C(1,0), usando a fórmula novo = C + 2·(v - C). Para P: (1,0) + 2·(4,4) = (9,8). Para Q: (1,0) + 2·(4,5) = (9,10). Para R: (1,0) + 2·(3,4) = (7,8).
4. Os resultados (9,8), (9,10) e (7,8) coincidem exatamente com os vértices registrados pelo sistema. Logo, a sequência correta é a da alternativa B, que coincide com o gabarito oficial.
5. Por que as outras estão erradas. A: fazer a translação antes da rotação muda o resultado, pois a rotação passaria a atuar sobre as coordenadas já deslocadas, e a composição final não gera (9,8). C: a rotação no sentido horário leva P a (1,-1), e o resultado final seria (13,4), não (9,8). D: a homotetia antes da translação altera a posição final, e P acabaria em (3,5), não em (9,8). E: aplicar a homotetia primeiro faz P ir para (1,2) e, depois da rotação e da translação, chegar a (4,4), não a (9,8).

💡 Dica: Aplique as transformações na ordem dada e verifique as coordenadas resultantes.

Alternativa por alternativa

Raio-X da questão

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