Uma equipe de design testa cubos maciços semelhantes para uma instalação artística. A tabela registra a razão…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Investigar processos de obtenção da medida do volume de prismas, pirâmides, cilindros e cones, incluindo o princípio de Cavalieri, para a obtenção das fórmulas de cálculo da medida do volume dessas figuras.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Uma equipe de design testa cubos maciços semelhantes para uma instalação artística. A tabela registra a razão entre a aresta de cada protótipo e a aresta do modelo inicial, além da área total da superfície e do volume desse protótipo. | Razão entre as arestas | Área total (cm²) | Volume (cm³) | | 1 | 54 | 27 | | 2 | 216 | 216 | | 3 | 486 | 729 | Um novo protótipo, semelhante aos anteriores, terá área total da superfície igual a 864 cm². Qual será seu volume e como ele se compara ao volume do protótipo cuja razão entre as arestas é 2?
- A) O novo protótipo terá volume de 110.592 cm³, que é 512 vezes o volume do protótipo de razão 2.
- B) O novo protótipo terá volume de 432 cm³, que é o dobro do volume do protótipo de razão 2.
- C) O novo protótipo terá volume de 1.728 cm³, que é oito vezes o volume do protótipo de razão 2.
- D) O novo protótipo terá volume de 13.824 cm³, que é 64 vezes o volume do protótipo de razão 2.
- E) O novo protótipo terá volume de 216 cm³, igual ao volume do protótipo de razão 2.
✅ Resposta correta: alternativa C
Resolução passo a passo
- Descubra a aresta do modelo inicial. Na razão 1, a área total é 54 cm² e a área de um cubo é 6 vezes a aresta ao quadrado. Logo, 6 vezes a^2 = 54, então a^2 = 9 e a aresta é 3 cm. O volume 3^3 = 27 confere com a tabela.
- Verifique a relação da tabela com as arestas. Na razão 2, a aresta é 6 cm, a área é 6 vezes 36 = 216 cm² e o volume é 216 cm³. Na razão 3, a aresta é 9 cm, a área é 6 vezes 81 = 486 cm² e o volume é 729 cm³. Os dados são consistentes.
- Calcule a aresta do novo protótipo. Com área de 864 cm², temos 6 vezes s^2 = 864, então s^2 = 144 e s = 12 cm.
- Calcule o volume do novo protótipo. O volume é 12^3 = 1728 cm³.
- Compare com o protótipo de razão 2, que tem volume de 216 cm³. A razão é 1728 / 216 = 8. Conferindo pela aresta: 12 / 6 = 2, e 2^3 = 8. Portanto, o volume é oito vezes maior, o que torna a alternativa C correta. Como verificação, a área cresce 4 vezes (864 / 216 = 4), que é o quadrado da razão de semelhança 2, enquanto o volume cresce 2^3 = 8 vezes.
- Por que as outras estão erradas. A está errada porque sua aresta de 48 cm resulta de dividir a área por 18 em vez de extrair a raiz quadrada. B está errada porque 432 é apenas a metade de 864 e não corresponde a nenhuma relação de semelhança. D está errada porque 24 cm não é a aresta correta e a razão de 64 vem de elevar ao cubo a razão entre áreas, em vez da razão entre arestas. E está errada porque 216 cm³ é o volume do protótipo de razão 2, que não é o novo protótipo. O gabarito oficial C está correto.
💡 Dica: A área cresce com o quadrado da razão linear e o volume com o cubo; use a área para achar a escala.
Alternativa por alternativa
O aluno provavelmente dividiu a área de 864 cm² por 18 para obter uma aresta de 48 cm, em vez de extrair a raiz quadrada de 864/6 = 144. Assim, calculou o volume 48^3 = 110.592 cm³ e comparou com 216 usando um fator de 8 entre arestas, que não é real.
O aluno supôs que o volume cresce na mesma proporção da área total, ou que a relação de semelhança dobra o volume em vez de multiplicá-lo pelo cubo da razão. Assim, chegou a 432 cm³, que é o dobro de 216 e não corresponde ao novo protótipo.
Por que engana: Tratar a área como proporcional à aresta ou aplicar ao volume a mesma razão usada para a área.
A área de cubos semelhantes varia com o quadrado da razão linear. Como 864/54 = 16, a razão entre as arestas é 4. O volume é então 27 × 4³ = 1.728 cm³. O protótipo de razão 2 tem volume 216 cm³, e 1.728/216 = 8.
O aluno calculou a aresta como 864 dividido por 36, obtendo 24 cm, e usou a razão entre as áreas (864/216 = 4) como se fosse a razão entre as arestas, elevando-a ao cubo para obter 64. Confundiu a razão de áreas com a razão de arestas.
O aluno provavelmente ignorou a área de 864 cm² e assumiu que o novo protótipo tem o mesmo volume do protótipo de razão 2. Interpretou mal o enunciado, que pede o volume a partir da área dada.
Raio-X da questão
Escala de áreas e volumes em sólidos semelhantes.
Relacionar escala li
Potências e raízes quadradas. · Área total e volume de um cubo.
Semelhança de sólidos e proporcionalidade dimensional.
Tratar a área como proporcional à aresta ou aplicar ao volume a mesma razão usada para a área.
Protótipos de cubos
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🔎 Resolver outra questão
Cole o enunciado e veja a resolução passo a passo, a alternativa correta e por que as outras estão erradas.
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