Uma pequena fábrica de conservas avalia duas embalagens cilíndricas fechadas para um produto. Ambas têm raio…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Resolver e elaborar problemas que envolvem o cálculo de áreas totais e de volumes de prismas, pirâmides e corpos redondos em situações reais (como o cálculo do gasto de material para revestimento ou pinturas de objetos cujos formatos sejam composições dos sólidos estudados), com ou sem apoio de tecnologias digitais.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Uma pequena fábrica de conservas avalia duas embalagens cilíndricas fechadas para um produto. Ambas têm raio de 3 cm; uma tem altura de 5 cm e a outra, de 8 cm. Para estimar o material das embalagens, considera-se toda a superfície externa, incluindo as duas bases, sem sobreposição ou desperdício. Considerando as dimensões informadas, qual embalagem exige maior área de material e qual é a diferença entre as áreas superficiais totais?
- A) A embalagem de 8 cm de altura exige 78pi cm² a mais de material.
- B) A embalagem de 8 cm de altura exige 27pi cm² a mais de material.
- C) A embalagem de 8 cm de altura exige 33pi cm² a mais de material.
- D) A embalagem de 8 cm de altura exige 9pi cm² a mais de material.
- E) A embalagem de 8 cm de altura exige 18pi cm² a mais de material.
✅ Resposta correta: alternativa E
Resolução passo a passo
- A área superficial total de um cilindro fechado é a soma das duas bases e da área lateral: 2πr² + 2πrh.
- Como os raios são iguais, as áreas das bases se cancelam na diferença. A diferença entre as áreas laterais é 2π · 3 · (8 − 5) = 18π cm².
- Portanto, a embalagem de 8 cm de altura exige 18π cm² a mais de material, como afirma a alternativa E, em concordância com o gabarito oficial.
- A alternativa A pode resultar de somar incorretamente áreas ou usar dimensões inadequadas; B e C decorrem de aplicar incorretamente a fórmula da área lateral ou a diferença das alturas; D pode resultar de esquecer o fator 2 da área lateral. Todas divergem do cálculo correto.
💡 Dica: Subtraia as áreas totais; as bases iguais se cancelam, restando a diferença das áreas laterais.
Alternativa por alternativa
O aluno provavelmente combina incorretamente as áreas das bases e laterais, em vez de comparar as áreas totais e cancelar as bases iguais. Assim, chega a um valor excessivo de 78π cm².
O aluno pode usar a diferença de alturas corretamente, mas aplicar de forma incorreta a fórmula da área lateral, obtendo 27π cm² em vez de 2πr vezes a diferença das alturas.
O aluno provavelmente calcula a diferença entre as alturas, mas combina esse valor com o raio de modo inadequado na fórmula da área lateral.
O aluno pode considerar apenas πr vezes a diferença das alturas, esquecendo que a área lateral do cilindro é 2πrh e, portanto, omitindo o fator 2.
Por que engana: Somar as áreas das bases novamente na diferença, embora sejam iguais.
A área total de um cilindro fechado é 2pir² + 2pirh. Como os raios são iguais, a diferença entre as áreas é 2pi × 3 × (8 - 5) = 18pi cm²; portanto, a embalagem mais alta requer maior área.
Raio-X da questão
Área total do cilindro fechado
fixacao
Área do círculo · Área lateral do cilindro
Área lateral e área das bases do cilindro
Somar as áreas das bases novamente na diferença, embora sejam iguais.
cotidiano
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