Em uma instalação de luzes, a quantidade de pontos acesos nas primeiras etapas segue a sequência 3, 7, 13, 21…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Identificar a regularidade de uma sequência numérica ou figural não recursiva e construir um algoritmo por meio de um fluxograma que permita indicar os números ou as figuras seguintes.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Em uma instalação de luzes, a quantidade de pontos acesos nas primeiras etapas segue a sequência 3, 7, 13, 21. Uma técnica afirma que a quantidade na etapa n é dada por n² + 2 e prevê 27 pontos na quinta etapa. A afirmação da técnica está correta? Analise a regularidade da sequência, indique uma regra que a represente e determine a quantidade de pontos acesos na quinta etapa.
- A) A afirmação está incorreta. As diferenças entre os termos são 4, 6 e 8, mas a próxima diferença pode ser estimada como 13, sem manter o aumento constante observado. Assim, após 21 pontos na quarta etapa, haverá 34 pontos acesos na quinta etapa.
- B) A afirmação está incorreta. As diferenças entre os termos são 4, 6 e 8, aumentando de 2 em 2. Uma regra que representa a sequência é n² + n + 2; para n igual a 5, haverá 32 pontos acesos.
- C) A afirmação está incorreta. As diferenças entre os termos são 4, 6 e 8, aumentando de 2 em 2. Uma regra que representa a sequência é n² + n + 1: para n igual a 1, 2, 3 e 4, obtêm-se 3, 7, 13 e 21. Na quinta etapa, haverá 5² + 5 + 1 = 31 pontos acesos.
- D) A afirmação está incorreta. As diferenças entre os termos são 4, 6 e 8, aumentando de 2 em 2. Uma regra que representa a sequência é n² + 2n; para n igual a 5, haverá 35 pontos acesos.
- E) A afirmação está incorreta. A sequência pode ser analisada pelas diferenças entre os termos, que aumentam de 2 em 2. Uma regra que representa essa regularidade é 2n² - n + 2; para n igual a 5, haverá 47 pontos acesos.
✅ Resposta correta: alternativa C
Resolução passo a passo
- Calcule as diferenças entre termos consecutivos da sequência 3, 7, 13, 21. Temos 7-3 = 4, 13-7 = 6 e 21-13 = 8. As diferenças aumentam de 2 em 2, então a próxima diferença será 10.
- Como a diferença cresce em progressão aritmética de razão 2, a regra é quadrática da forma an² + bn + c. Testando n = 1, 2, 3: a + b + c = 3, 4a + 2b + c = 7 e 9a + 3b + c = 13. Subtraindo as equações, obtemos 3a + b = 4 e 5a + b = 6, logo a = 1, b = 1 e c = 1. A regra é n² + n + 1.
- Verifique a regra nas quatro etapas: n = 1 dá 3; n = 2 dá 7; n = 3 dá 13; n = 4 dá 21. Todas batem com a sequência dada.
- Calcule a quinta etapa: 5² + 5 + 1 = 25 + 5 + 1 = 31 pontos acesos. Também é o resultado de somar a diferença 10 a 21.
- Avalie a técnica. A fórmula n² + 2 dá 3 na primeira etapa, mas 6 na segunda (e não 7), e 27 na quinta etapa, em vez de 31. Portanto a afirmação está incorreta.
- Por que as outras estão erradas. A: assume uma diferença de 13 em vez de 10, o que leva a 34 pontos. B: a regra n² + n + 2 dá 4 na primeira etapa, não 3. D: a regra n² + 2n dá 8 na segunda etapa, não 7. E: a regra 2n² - n + 2 dá 8 na segunda etapa, não 7.
- Conclusão: a alternativa C está correta, com a regra n² + n + 1 e 31 pontos na quinta etapa. O gabarito oficial coincide com a resolução.
💡 Dica: Calcule as diferenças entre termos consecutivos e observe como elas variam; depois teste a regra nos termos dados.
Alternativa por alternativa
O aluno percebe que a sequência não é constante, mas estima a próxima diferença de forma arbitrária (13) em vez de seguir o padrão de aumento de 2 em 2. Assim, chega a 34 pontos.
O aluno identifica corretamente a diferença crescente de 2 em 2 e a parte quadrática, mas acrescenta 2 à regra sem testar a primeira etapa. A fórmula n² + n + 2 dá 4 para n = 1, não 3.
Por que engana: Aceitar n² + 2 por coincidir com alguns termos, sem verificar a sequência, ou confundir a regra e errar a substituição de n = 5.
A regra n² + 2 não reproduz os termos apresentados nem sua regularidade. A expressão n² + n + 1 gera os quatro valores informados e, para a quinta etapa, resulta em 31.
O aluno ajusta a fórmula apenas à ideia geral de termo quadrático e escolhe n² + 2n sem verificar os valores dados. Essa regra dá 8 na segunda etapa, e não 7, e chega a 35 na quinta.
O aluno usa um coeficiente 2 no termo quadrático, o que não corresponde a diferenças que aumentam de 2 em 2. A regra 2n² - n + 2 dá 8 na segunda etapa, não 7, e leva a 47 na quinta.
Raio-X da questão
Regularidade de sequência numérica por diferenças sucessivas e regra explícita.
fixacao
Substituição de valores em expressões algébricas. · Cálculo e comparação de diferenças entre termos consecutivos.
Construção de regra para sequência quadrática a partir das diferenças.
Aceitar n² + 2 por coincidir com alguns termos, sem verificar a sequência, ou confundir a regra e errar a substituição de n = 5.
cotidiano
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