Uma equipe de cenografia monta uma armação triangular retângula para um painel. No primeiro projeto, os…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Demonstrar relações métricas do triângulo retângulo, entre elas o teorema de Pitágoras, utilizando, inclusive, a semelhança de triângulos.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Uma equipe de cenografia monta uma armação triangular retângula para um painel. No primeiro projeto, os catetos medem 3 m e 4 m, e a diagonal que os une é a hipotenusa. Para ampliar a estrutura sem alterar sua forma, o projeto prevê dobrar o comprimento de cada cateto. Com base no teorema de Pitágoras, o que acontecerá com o comprimento da diagonal após essa ampliação?
- A) A diagonal passará de 5 m para 10 m, portanto seu comprimento dobrará.
- B) A diagonal ficará com 6 m, acompanhando o cateto menor após a ampliação.
- C) A diagonal passará a medir 25 m, pois esse é o valor obtido ao aplicar Pitágoras ao projeto inicial.
- D) A diagonal permanecerá com 5 m, pois a forma da armação não mudou.
- E) A diagonal passará a medir 100 m, resultado da aplicação do teorema aos catetos ampliados.
✅ Resposta correta: alternativa A
Resolução passo a passo
- Calcule a diagonal do projeto inicial. Pelo teorema de Pitágoras, hipotenusa ao quadrado = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25, logo a hipotenusa é raiz de 25 = 5 m. Passo 2: Dobre cada cateto. Os catetos passam a medir 2 × 3 = 6 m e 2 × 4 = 8 m. Passo 3: Aplique Pitágoras à nova estrutura. A nova hipotenusa ao quadrado = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100, portanto a nova diagonal = raiz de 100 = 10 m. Passo 4: Compare: a diagonal foi de 5 m para 10 m, ou seja, dobrou. Isso ocorre porque, ao dobrar todos os lados de um triângulo, ele se torna semelhante ao original com razão 2, e em semelhança todas as medidas lineares, inclusive a hipotenusa, são multiplicadas pela mesma razão. Passo 5: Por que as outras estão erradas. B: a diagonal não pode ser igual a um cateto, pois a hipotenusa é sempre o maior lado do triângulo retângulo. C: 25 m é o valor de 3^2 + 4^2, que é o quadrado da hipotenusa, e esqueceu-se de extrair a raiz quadrada. D: a forma não mudar significa apenas que os ângulos se mantêm, mas as medidas dos lados aumentam com a ampliação. E: 100 m é o quadrado da nova hipotenusa, e novamente falta extrair a raiz quadrada, que daria 10 m.
💡 Dica: Calcule a hipotenusa inicial e compare a nova hipotenusa após dobrar os catetos.
Alternativa por alternativa
Inicialmente, a hipotenusa mede 5 m, pois 3^2 + 4^2 = 25. Com os catetos dobrados, eles medem 6 m e 8 m; então a hipotenusa mede 10 m, pois 6^2 + 8^2 = 100.
O aluno supõe que a diagonal acompanha um dos catetos ampliados e a iguala a 6 m, sem aplicar Pitágoras. Ele também desconsidera que a hipotenusa é sempre o maior lado do triângulo retângulo.
Por que engana: Aplicar o teorema somando os quadrados e tomar essa soma como o comprimento da diagonal.
O aluno calcula corretamente a soma dos quadrados dos catetos ou confunde o resultado com a própria medida da diagonal, esquecendo de extrair a raiz quadrada. Assim, toma 25 como comprimento em metros.
O aluno acredita que, se a forma da armação não muda, nenhuma medida muda. Usa a intuição do dia a dia de que manter o formato significa manter o tamanho.
O aluno aplica Pitágoras aos catetos ampliados, obtendo 36 + 64 = 100, mas não extrai a raiz quadrada e registra 100 m como comprimento da diagonal.
Raio-X da questão
Escala das medidas no teorema de Pitágoras
fixacao
Identificação dos catetos e da hipotenusa · Cálculo de raiz quadrada de quadrado perfeito
Teorema de Pitágoras e proporcionalidade
Aplicar o teorema somando os quadrados e tomar essa soma como o comprimento da diagonal.
cotidiano
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