Durante a instalação de um painel artístico, uma equipe planeja usar uma haste diagonal para ligar dois pontos…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Resolver e elaborar problemas de aplicação do teorema de Pitágoras ou das relações de proporcionalidade envolvendo retas paralelas cortadas por secantes.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Durante a instalação de um painel artístico, uma equipe planeja usar uma haste diagonal para ligar dois pontos de uma estrutura. A distância horizontal entre os pontos é de 8 m. No primeiro projeto, a diferença de altura é de 6 m; após uma alteração, essa diferença passa a 15 m. Em ambos os casos, a haste e as duas distâncias formam um triângulo retângulo. Considerando que a distância horizontal não mudou, qual foi a consequência da alteração da diferença de altura para o comprimento necessário da haste diagonal?
- A) O comprimento da haste passou de 22 m para 38 m, aumentando 16 m.
- B) O comprimento da haste passou de 48 m para 120 m, aumentando 72 m.
- C) O comprimento da haste passou de 10 m para 17 m, aumentando 7 m.
- D) O comprimento da haste passou de 6 m para 15 m, aumentando 9 m.
- E) O comprimento da haste passou de 14 m para 23 m, aumentando 9 m.
✅ Resposta correta: alternativa C
Resolução passo a passo
- A haste diagonal é a hipotenusa de um triângulo retângulo. Os catetos são a distância horizontal (8 m) e a diferença de altura. Passo 2: No primeiro projeto, os catetos são 8 m e 6 m. Pelo teorema de Pitágoras, hipotenusa ao quadrado = 8^2 + 6^2 = 64 + 36 = 100, logo a hipotenusa é 10 m. Passo 3: Após a alteração, os catetos são 8 m e 15 m. Hipotenusa ao quadrado = 8^2 + 15^2 = 64 + 225 = 289, logo a hipotenusa é 17 m. Passo 4: A variação do comprimento é 17 - 10 = 7 m, ou seja, a haste aumentou 7 m. Passo 5: A alternativa A está errada, pois 22 e 38 não correspondem a nenhum cálculo de Pitágoras com esses dados. Passo 6: A alternativa B está errada, pois 48 e 120 são produtos dos catetos, que não fornecem a hipotenusa. Passo 7: A alternativa D está errada, pois considera a própria diferença de altura como se fosse o comprimento da haste, ignorando a distância horizontal. Passo 8: A alternativa E está errada, pois soma os catetos (8 + 6 = 14 e 8 + 15 = 23), em vez de calcular a hipotenusa. Passo 9: O gabarito oficial C está correto, pois coincide com o resultado obtido.
💡 Dica: Calcule cada haste por h² = 8² + altura² e compare os resultados.
Alternativa por alternativa
O aluno parece ter combinado números de forma aleatória, sem aplicar o teorema de Pitágoras, e tratou a haste como uma soma de medidas em vez de uma hipotenusa.
O aluno multiplicou os catetos (8 x 6 = 48 e 8 x 15 = 120) achando que isso dá o comprimento da diagonal, confundindo a fórmula da área do triângulo com a do teorema de Pitágoras.
Pelo Teorema de Pitágoras, no primeiro projeto a haste mede raiz quadrada de 8^2 + 6^2 = 10 m. Após a alteração, mede raiz quadrada de 8^2 + 15^2 = 17 m; portanto, o aumento é de 7 m.
O aluno considerou que o comprimento da haste é igual à diferença de altura, ignorando a distância horizontal de 8 m e o fato de a diagonal ser a hipotenusa.
O aluno somou os dois catetos (8 + 6 = 14 e 8 + 15 = 23) como se a diagonal fosse o perímetro parcial do triângulo, em vez de extrair a raiz da soma dos quadrados.
Por que engana: Somar os comprimentos dos catetos ou comparar apenas as alturas.
Raio-X da questão
Teorema de Pitágoras.
Calcular e comparar
Potenciação e extração de raiz quadrada. · Identificação de triângulo retângulo e seus lados.
Identificação dos catetos e da hipotenusa.
Somar os comprimentos dos catetos ou comparar apenas as alturas.
Arte e planejamento de estruturas.
Instalação de painel
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