Em uma casa, uma pessoa instala um portão de jardim com uma barra diagonal de reforço. A estrutura forma um…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Demonstrar relações métricas do triângulo retângulo, entre elas o teorema de Pitágoras, utilizando, inclusive, a semelhança de triângulos.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Em uma casa, uma pessoa instala um portão de jardim com uma barra diagonal de reforço. A estrutura forma um triângulo retângulo: a barra diagonal é a hipotenusa, mede 13 dm, e a projeção do cateto correspondente à altura do portão sobre essa barra mede 5 dm. A altura do portão é representada por x. Qual relação métrica permite calcular a altura x do portão?
- A) x^2 = 13 × 5
- B) x^2 = 5^2
- C) x = 13 × 5
- D) x^2 = 13^2 - 5^2
- E) x^2 = 13 × 8
✅ Resposta correta: alternativa A
Resolução passo a passo
- Identifique os elementos do triângulo retângulo. A hipotenusa mede a = 13 dm, a projeção do cateto x sobre a hipotenusa mede m = 5 dm, e x é o cateto cuja projeção está indicada.
- Lembre a relação métrica que envolve um cateto, sua projeção e a hipotenusa: o quadrado do cateto é igual ao produto da hipotenusa pela projeção desse cateto sobre ela. Em símbolos, cateto^2 = hipotenusa × projeção.
- Aplique ao problema: x^2 = 13 × 5, ou seja, x^2 = 65. Assim, a relação que permite calcular x é x^2 = 13 × 5, o que corresponde à alternativa A.
- Confira o gabarito oficial, que é A, e ele está correto.
- Por que as outras estão erradas: B confunde a projeção com o próprio cateto, usando 5^2 no lugar de 13 × 5; C esquece que a relação envolve o quadrado de x, e não o próprio x; D aplica o teorema de Pitágoras, que relaciona os catetos e a hipotenusa, mas 5 é uma projeção e não um cateto; E usa 8, que é 13 − 5, a projeção do outro cateto, e não a projeção do cateto x.
💡 Dica: Use a relação entre o quadrado do cateto e o produto da hipotenusa pela projeção desse cateto.
Alternativa por alternativa
O quadrado de um cateto é igual ao produto da hipotenusa pela projeção desse cateto sobre ela. Neste caso, a hipotenusa mede 13 dm e a projeção correspondente mede 5 dm.
O aluno acredita que o valor 5 é o próprio cateto x, e por isso eleva 5 ao quadrado. Não percebe que 5 é apenas a projeção do cateto sobre a hipotenusa.
O aluno multiplica a hipotenusa pela projeção corretamente, mas esquece que a relação fornece o quadrado de x, e não o valor de x. Por isso não extrai a raiz quadrada.
O aluno tenta usar o teorema de Pitágoras, mas trata 5 como se fosse um cateto. A projeção não é um lado do triângulo que forma ângulo reto com o outro cateto nessa configuração.
O aluno calcula 13 − 5 = 8 e usa esse valor, que é a projeção do outro cateto sobre a hipotenusa. Ele associa a projeção errada ao cateto x, o que indica leitura equivocada do enunciado.
Por que engana: Confundir a projeção com o cateto ou aplicar o teorema de Pitágoras usando os dados como lados.
Raio-X da questão
Relações métricas no triângulo retângulo
fixacao
Identificação da hipotenusa e dos catetos · Identificação da projeção de um cateto sobre a hipotenusa
Quadrado do cateto igual à hipotenusa vezes sua projeção
Confundir a projeção com o cateto ou aplicar o teorema de Pitágoras usando os dados como lados.
cotidiano
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