Uma pequena loja virtual vende kits de papelaria personalizados. Em uma semana em que o preço de cada kit foi…

Questão

Uma pequena loja virtual vende kits de papelaria personalizados. Em uma semana em que o preço de cada kit foi R$ 30,00, foram vendidos 150 kits. A loja observou que, para cada aumento de R$ 5,00 no preço, a quantidade vendida diminui em 10 kits. O custo variável de produção e envio é de R$ 10,00 por kit, e as despesas fixas semanais somam R$ 400,00. Para estimar a demanda, a loja considera linear a relação entre preço e quantidade vendida, dentro da faixa em que a quantidade não seja negativa. Defina p como o preço de venda, em reais, de cada kit e q como a quantidade vendida por semana. A partir das informações, construa a função que representa o lucro semanal em função de p e determine o preço que maximiza esse lucro, bem como o valor máximo estimado. Mostre as etapas do raciocínio e verifique se o preço encontrado é compatível com uma quantidade vendida não negativa.

✍️ Questão dissertativa: veja abaixo a resposta esperada e a explicação.

Resposta esperada

O aumento de R$ 5,00 reduz as vendas em 10 kits, portanto a quantidade diminui 2 kits por real. Como q = 150 quando p = 30, o modelo linear é q(p) = 210 - 2p. O lucro é a receita menos os custos variáveis e fixos: L(p) = p q(p) - 10q(p) - 400. Substituindo q(p), obtém-se L(p) = (p - 10)(210 - 2p) - 400 = -2p^2 + 230p - 2500. Essa parábola tem concavidade para baixo, e seu máximo ocorre no vértice, em p = -230/(2 x -2) = R$ 57,50. Nesse preço, q = 210 - 2 x 57,50 = 95 kits, quantidade não negativa. O lucro máximo estimado é L(57,50) = (57,50 - 10) x 95 - 400 = R$ 4.112,50 por semana.

Explicação

A variação observada determina a inclinação -2 da função de demanda, que passa pelo ponto (30, 150). O lucro resultante é uma função quadrática com máximo no vértice; o preço obtido implica a venda de 95 kits, respeitando a condição de demanda não negativa.

Raio-X da questão

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