Recente levantamento em um museu interativo mostrou que, ao cobrar ingresso de R$ 10,00, foram vendidas 1 800…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Construir modelos empregando as funções polinomiais de 1º ou 2º graus, para resolver problemas em contextos diversos, com ou sem apoio de tecnologias digitais.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Recente levantamento em um museu interativo mostrou que, ao cobrar ingresso de R$ 10,00, foram vendidas 1 800 entradas, e, ao elevar o preço para R$ 12,00, o número de ingressos vendidos caiu para 1 600. Admitindo-se que a quantidade de ingressos vendidos varia de forma linear com o preço, os gestores construíram o modelo de receita R(p)=p·(2800-100 p), em que p representa o valor do ingresso em reais e R(p) o valor recebido em reais. A partir do modelo R(p)=p·(2800-100 p), determine o preço do ingresso que maximiza a receita da bilheteria.
- A) R$ 14,00
- B) R$ 12,00
- C) R$ 11,00
- D) R$ 13,00
- E) R$ 15,00
✅ Resposta correta: alternativa A
Resolução passo a passo
- Verifiquei se o modelo linear decorre dos dados. Com (10; 1800) e (12; 1600), a inclinação é (1600-1800)/(12-10) = -100, logo q(p) = 1800 - 100(p - 10) = 2800 - 100p, em que q é a quantidade de ingressos. Isso confirma o modelo R(p) = p·(2800 - 100p) = 2800p - 100p^2.
- A função R(p) = -100p^2 + 2800p é uma parábola com concavidade para baixo, pois o coeficiente de p^2 é negativo. Logo, a receita máxima ocorre no vértice, em p = -b/(2a) = -2800/(2·(-100)) = 14.
- Conferi calculando a receita em torno do vértice. R(13) = 13·1500 = 19500; R(14) = 14·1400 = 19600; R(15) = 15·1300 = 19500. Portanto, R$ 14,00 é o preço que maximiza a receita, com R(14) = 19600 reais.
- Por que as outras estão erradas: R$ 12,00 dá receita de 19200 reais, menor que a de 14 reais; R$ 11,00 dá 18700 reais; R$ 13,00 e R$ 15,00 dão 19500 reais cada, ambos abaixo do máximo de 19600 reais.
- A resposta obtida pela análise coincide com o gabarito oficial, alternativa A.
💡 Dica: Use derivada para encontrar o máximo da função receita.
Alternativa por alternativa
O vértice da parábola R(p)=-100 p^2+2800 p ocorre em p=-b/(2a)= -2800/(2·-100)=14.
O aluno provavelmente tomou como resposta um dos preços já citados no enunciado, sem calcular o vértice da parábola. Ele pode supor que o preço da segunda pesquisa é o melhor por ser o mais recente.
O aluno provavelmente calculou o ponto médio entre 10 e 12 e assumiu que ele é o ótimo. Essa intuição de 'meio-termo' não vale para uma parábola, cujo vértice depende dos coeficientes do modelo.
O aluno provavelmente aplicou a fórmula do vértice com erro de cálculo, por exemplo, obtendo 2600/200 ou arredondando de forma incorreta. Também pode ter comparado apenas R(13) e R(12) sem verificar R(14).
Por que engana: Escolher o preço baseado apenas nos dados dados, sem usar o cálculo do máximo da função receita.
O aluno provavelmente errou na divisão 2800/200 ou tentou localizar o preço em que a quantidade vendida chega a 1500 ingressos, arredondando para cima. Assim, chega a 15 reais, sem conferir que a receita é menor do que em 14 reais.
Raio-X da questão
maximização de receita
avaliacao
função quadrática · derivada básica
Estude funções quadráticas e derivadas para otimização.
Escolher o preço baseado apenas nos dados dados, sem usar o cálculo do máximo da função receita.
tomada_decisao
cotidiano
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