Dados ilustrativos: o conselho gestor de um parque municipal avaliou o impacto do preço dos ingressos sobre a…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Investigar pontos de máximo ou de mínimo de funções quadráticas em contextos envolvendo superfícies, Matemática Financeira ou Cinemática, entre outros, com apoio de tecnologias digitais.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Dados ilustrativos: o conselho gestor de um parque municipal avaliou o impacto do preço dos ingressos sobre a receita de bilheteria. Observou-se que, com preço p em reais, a quantidade de visitantes semanais, V(p), e a receita semanal, R(p), estão relacionadas de modo que a receita pode ser aproximada pela função quadrática R(p)= -50p^2 + 2000p. Esse modelo indica que, para preços muito baixos, a receita cai pela receita unitária reduzida e, para preços muito altos, a receita cai pelo menor número de visitantes. Analise o texto-base e determine o valor do preço do ingresso que maximiza a receita semanal do parque municipal.
- A) 40 reais
- B) 10 reais
- C) 30 reais
- D) 20 reais
- E) 50 reais
✅ Resposta correta: alternativa D
Resolução passo a passo
- A função R(p) = -50p^2 + 2000p é uma parábola com concavidade para baixo, pois o coeficiente de p^2 é negativo (-50). Portanto, ela tem um ponto de máximo, que está no vértice.
- A abscissa do vértice é dada por p = -b/(2a), com a = -50 e b = 2000. Assim, p = -2000/(2 × (-50)) = -2000/(-100) = 20.
- Conferindo o valor da receita no vértice: R(20) = -50 × 20^2 + 2000 × 20 = -50 × 400 + 40000 = -20000 + 40000 = 20000 reais por semana. Os demais preços dão receita menor. Por exemplo, R(10) = -5000 + 20000 = 15000 e R(40) = -80000 + 80000 = 0.
- Assim, o preço que maximiza a receita semanal é de 20 reais, que é a alternativa D, igual ao gabarito oficial.
- Por que as outras estão erradas: 40 reais é a raiz não nula de R(p), ou seja, o preço em que a receita volta a zero; 10 reais não é o vértice, pois R(10) = 15000 é menor que R(20); 30 reais também não é o vértice, pois R(30) = 15000; e 50 reais dá receita negativa, R(50) = -50000, o que não faz sentido para um máximo.
💡 Dica: Use a fórmula do vértice da parábola para encontrar o preço que maximiza a receita.
Alternativa por alternativa
O aluno calcula -b/a esquecendo de dividir por 2, ou seja, usa -2000/(-50) = 40. Esse valor é a raiz não nula da função, em que a receita se anula, e não o ponto de máximo.
Por que engana: Escolher o preço que minimiza a receita ou confundir o cálculo do vértice da parábola.
O aluno calcula 2000/200 usando um denominador errado (por exemplo, multiplicando o coeficiente por 4 em vez de 2 ou ignorando o sinal). Assim chega a 10, que não é a abscissa do vértice.
O aluno chega ao valor 30 por erro de cálculo na fórmula do vértice ou por uma média equivocada entre as raízes 0 e 40. O vértice está em 20, que é o ponto médio correto entre essas raízes.
Vértice de R(p)= -50p^2+2000p ocorre em p= -b/(2a)= -2000/(2·-50)=20 reais, ponto de máxima receita.
O aluno toma o número 50 do coeficiente -50 como se fosse o preço ótimo, confundindo o coeficiente quadrático com a coordenada do vértice.
Raio-X da questão
função quadrática, maximização receita
avaliacao
função quadrática · vértice da parábola
estude funções quadráticas e cálculo do vértice da parábola
Escolher o preço que minimiza a receita ou confundir o cálculo do vértice da parábola.
tomada_decisao
cotidiano
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