Dados ilustrativos: Uma empresa de entregas por aplicativo observa que, ao definir o valor da assinatura…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Investigar pontos de máximo ou de mínimo de funções quadráticas em contextos envolvendo superfícies, Matemática Financeira ou Cinemática, entre outros, com apoio de tecnologias digitais.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Dados ilustrativos: Uma empresa de entregas por aplicativo observa que, ao definir o valor da assinatura mensal em reais (R$) igual a p, o número de assinantes diários estimado é dado por 1000 - 20p. Os custos diários combinam uma taxa fixa de R$12 000 e um custo variável de R$10 por assinante. O lucro diário L(p) em função do preço p resulta da receita total menos os custos. Determine o valor de p que maximiza o lucro diário L(p) da empresa.
- A) 60
- B) 30
- C) 20
- D) 25
- E) 40
✅ Resposta correta: alternativa B
Resolução passo a passo
- Escrevo a receita diária. Com p reais de assinatura e N = 1000 - 20p assinantes, a receita é R(p) = p(1000 - 20p) = 1000p - 20p^2.
- Escrevo o custo diário. São 12000 de taxa fixa mais 10 reais por assinante: C(p) = 12000 + 10(1000 - 20p) = 22000 - 200p.
- Calculo o lucro: L(p) = R(p) - C(p) = 1000p - 20p^2 - 22000 + 200p = -20p^2 + 1200p - 22000.
- Como o coeficiente de p^2 é negativo (-20), a parábola tem concavidade para baixo e o máximo está no vértice, p = -b/(2a) = -1200/(2 x (-20)) = 30.
- Verificação: N(30) = 1000 - 600 = 400 assinantes; L(30) = -20 x 900 + 1200 x 30 - 22000 = -4000. O lucro é negativo nesse ponto, mas o enunciado pede o valor de p que maximiza L, e esse valor é 30. Assim, o gabarito B está correto.
- Por que as outras estão erradas: A (60) resulta de usar p = -b/a sem dividir por 2; C (20) e E (40) não correspondem ao vértice de L(p), que depende dos coeficientes -20, 1200 e -22000; D (25) é o vértice da receita 1000p - 20p^2, que ignora os custos.
💡 Dica: Formule a função lucro e encontre seu máximo derivando.
Alternativa por alternativa
Calculou o vértice como -b/a, esquecendo de dividir por 2a, e obteve 1200/20 = 60.
Por que engana: Calcular lucro sem considerar todos os custos ou erro ao derivar a função.
L(p)= -20p^2+1200p-12000 tem vértice em p=-1200/(2·-20)=30, logo lucro máximo em R$30.
Errou a soma dos termos lineares ao montar L(p) (ou os coeficientes da parábola), chegando a um vértice em p = 20 que não corresponde ao lucro real.
Maximizou apenas a receita 1000p - 20p^2, ignorando o custo fixo e o custo variável por assinante, que alteram a função lucro.
Usou um critério intuitivo, como escolher o preço que deixa cerca de 200 assinantes, em vez de maximizar a função lucro.
Raio-X da questão
maximização de lucro
avaliacao
função quadrática · derivada de função
Estude funções quadráticas e derivadas para otimização.
Calcular lucro sem considerar todos os custos ou erro ao derivar a função.
tomada_decisao
cotidiano
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