Em sistemas de comunicação por salto de frequência, uma transmissão pode alternar entre canais para reduzir…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Resolver e elaborar problemas de contagem envolvendo agrupamentos ordenáveis ou não de elementos, por meio dos princípios multiplicativo e aditivo, recorrendo a estratégias diversas, como o diagrama de árvore.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Em sistemas de comunicação por salto de frequência, uma transmissão pode alternar entre canais para reduzir interferências. Em um teste tecnológico, uma equipe planeja uma sequência de cinco transmissões usando quatro canais disponíveis. O protocolo não permite repetir o canal em transmissões consecutivas e exige que o canal de contingência, identificado como C, seja usado ao menos uma vez. Quantas sequências de canais atendem simultaneamente às duas exigências do protocolo?
- A) 276 sequências.
- B) 781 sequências.
- C) 260 sequências.
- D) 324 sequências.
- E) 300 sequências.
✅ Resposta correta: alternativa A
Resolução passo a passo
- Identifique as duas restrições. Cada uma das 5 transmissões usa um dos 4 canais, nenhuma transmissão consecutiva pode repetir o canal, e o canal C deve aparecer pelo menos uma vez. Passo 2: Conte primeiro as sequências sem repetição consecutiva. A primeira transmissão tem 4 opções e cada uma das 4 seguintes tem 3 opções (qualquer canal diferferente do anterior), logo 4 x 3^4 = 4 x 81 = 324 sequências. Passo 3: Subtraia as sequências que não usam C, pois elas violam a exigência de uso de C. Sem C, há 3 canais disponíveis, então a primeira transmissão tem 3 opções e cada uma das 4 seguintes tem 2 opções, resultando em 3 x 2^4 = 3 x 16 = 48 sequências. Passo 4: Calcule o resultado final: 324 - 48 = 276 sequências que atendem às duas exigências simultaneamente. Passo 5: Compare com o gabarito oficial. O resultado 276 coincide com a alternativa A, portanto o gabarito está correto. Por que as outras estão erradas: B (781) ignora a regra de não repetir canal em transmissões consecutivas; C (260) subtrai uma quantidade incorreta de sequências sem C; D (324) é o total sem a exigência do canal C; E (300) desconta um número errado de sequências excluídas.
💡 Dica: Conte todas as sequências sem repetições consecutivas e subtraia as que não usam C.
Alternativa por alternativa
Sem a exigência de usar C, há 4 opções para a primeira transmissão e 3 para cada uma das quatro seguintes, totalizando 4 × 3^4 = 324 sequências. Sem usar C, restam 3 opções para a primeira transmissão e 2 para cada uma das seguintes, totalizando 3 × 2^4 = 48. Portanto, 324 - 48 = 276 sequências usam C ao menos uma vez.
O aluno calculou 4^5 - 3^5 = 1024 - 243 = 781, contando todas as sequências com C sem aplicar a regra de não repetir canal em transmissões consecutivas.
O aluno provavelmente subtraiu de 324 uma quantidade errada de sequências sem o canal C (cerca de 64 em vez de 48), por contagem incorreta das sequências com três canais e sem repetição consecutiva.
O aluno contou apenas as sequências sem repetição consecutiva e esqueceu a exigência de que o canal C seja usado ao menos uma vez.
Por que engana: Contar as sequências válidas sem garantir que C apareça ao menos uma vez.
O aluno subtraiu 24 de 324, provavelmente calculando errado o número de sequências sem C (como se fosse 4! ou outra contagem sem a restrição correta de repetição consecutiva).
Raio-X da questão
Princípio multiplicativo com restrições e contagem pelo complemento.
Contar sequências so
Princípio multiplicativo. · Contagem pelo complemento.
Contagem de sequências sem repetição consecutiva.
Contar as sequências válidas sem garantir que C apareça ao menos uma vez.
Ciência e tecnologia; comunicação digital.
Contexto tecnológico
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