Em uma exposição sobre a expansão histórica do telégrafo, uma equipe monta uma simulação didática de rotas de…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Identificar e descrever o espaço amostral de eventos aleatórios, realizando contagem das possibilidades, para resolver e elaborar problemas que envolvem o cálculo da probabilidade.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Em uma exposição sobre a expansão histórica do telégrafo, uma equipe monta uma simulação didática de rotas de mensagens. Cada rota é formada pela escolha de uma estação de origem, de um relé intermediário e de uma linha de saída. A simulação oferece 4 estações, 3 relés e 5 linhas. Por limitações técnicas do modelo, não são permitidas as combinações estação 1 com relé 1 nem estação 2 com relé 2. Além disso, quando se escolhe o relé 3, a linha 1 não pode ser usada. As demais combinações são válidas. Quantas rotas distintas podem ser montadas respeitando todas as limitações descritas?
- A) 58 rotas distintas.
- B) 46 rotas distintas.
- C) 50 rotas distintas.
- D) 45 rotas distintas.
- E) 40 rotas distintas.
✅ Resposta correta: alternativa B
Resolução passo a passo
- Sem restrições, cada rota é uma escolha de estação (4), relé (3) e linha (5), o que dá 4 x 3 x 5 = 60 rotas possíveis. Passo 2: Identifique as rotas proibidas. A combinação estação 1 com relé 1 proíbe 5 rotas, uma para cada linha de saída. A combinação estação 2 com relé 2 também proíbe 5 rotas. Passo 3: Quando o relé 3 é escolhido, a linha 1 não pode ser usada. Como há 4 estações, isso elimina 4 rotas (estação 1, 2, 3 ou 4, com relé 3 e linha 1). Passo 4: Verifique se alguma rota é contada duas vezes. As proibições por estação e relé (1 com 1, 2 com 2) envolvem relés 1 e 2, enquanto a proibição do relé 3 envolve o relé 3, então não há sobreposição entre os três grupos. Passo 5: Total de rotas proibidas = 5 + 5 + 4 = 14. Rotas válidas = 60 - 14 = 46. Passo 6: Comparando com o gabarito oficial, a resposta 46 (alternativa B) está correta. Por que as outras estão erradas: a alternativa A (58) subtrai apenas 2 rotas, ignorando que cada proibição vale para todas as linhas; a alternativa C (50) subtrai 10 e esquece a restrição do relé 3; a alternativa D (45) subtrai 15, superestimando a restrição do relé 3; a alternativa E (40) subtrai 20, o que excede o total de rotas proibidas.
💡 Dica: Conte primeiro todas as combinações e subtraia as que violam cada restrição, sem sobreposição.
Alternativa por alternativa
O aluno provavelmente tratou cada proibição de estação e relé como se eliminasse apenas uma rota, e não as 5 rotas correspondentes às cinco linhas de saída, além de ignorar a restrição do relé 3.
Sem restrições, há 4 x 3 x 5 = 60 rotas. As combinações estação 1-relé 1 eliminam 5 rotas, assim como estação 2-relé 2. A restrição relé 3-linha 1 elimina 4 rotas, uma para cada estação. Esses grupos de rotas proibidas não se sobrepõem, portanto restam 60 - 5 - 5 - 4 = 46 rotas.
O aluno aplicou corretamente as duas proibições de estação e relé (5 + 5 = 10), mas esqueceu a restrição de que, com o relé 3, a linha 1 não pode ser usada, deixando de subtrair as 4 rotas correspondentes.
Por que engana: Subtrair as restrições sem considerar que cada par proibido elimina várias escolhas da terceira etapa.
O aluno contou 5 rotas proibidas para a restrição do relé 3 em vez de 4, ou seja, considerou que a linha 1 seria bloqueada para todas as 5 estações ou dobrou alguma contagem, chegando a 15 rotas eliminadas.
O aluno superestimou as proibições, por exemplo tratando a restrição do relé 3 como se bloqueasse 10 rotas ou contando sobreposições entre as proibições, o que resulta em 20 rotas eliminadas.
Raio-X da questão
Princípio multiplicativo com exclusão de combinações proibidas.
Determinar o número
Princípio multiplicativo da contagem. · Identificação e contagem de casos proibidos.
Contagem do espaço amostral com restrições.
Subtrair as restrições sem considerar que cada par proibido elimina várias escolhas da terceira etapa.
Ciência e tecnologia; comunicação histórica.
Simulação de rotas d
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