Você já imaginou quantas combinações possíveis um cadeado de quatro dígitos pode ter? Em um sistema de…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Resolver e elaborar problemas de contagem envolvendo agrupamentos ordenáveis ou não de elementos, por meio dos princípios multiplicativo e aditivo, recorrendo a estratégias diversas, como o diagrama de árvore.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Você já imaginou quantas combinações possíveis um cadeado de quatro dígitos pode ter? Em um sistema de segurança, cada código deve usar apenas dígitos de 0 a 9, sem repetir nenhum deles, e o primeiro dígito não pode ser zero. Essa configuração evita sequências óbvias e garante maior proteção. A equipe de TI precisa saber quantas senhas distintas o cadeado permite para avaliar a robustez do sistema. Identifique o total de combinações possíveis de códigos válidos para esse cadeado.
- A) 4536
- B) 6561
- C) 3024
- D) 5040
- E) 10000
✅ Resposta correta: alternativa A
Resolução passo a passo
- Identifique as restrições. Os códigos têm 4 dígitos, cada um de 0 a 9, sem repetição, e o primeiro dígito não pode ser zero. Passo 2: Calcule as opções para o primeiro dígito. Como ele não pode ser zero, há 9 opções (1 a 9). Passo 3: Calcule as opções para o segundo dígito. Ele pode ser qualquer dígito de 0 a 9, exceto o já usado no primeiro, restando 9 opções. Passo 4: Calcule as opções para o terceiro dígito. Restam 8 dígitos disponíveis, então há 8 opções. Passo 5: Calcule as opções para o quarto dígito. Restam 7 dígitos disponíveis, então há 7 opções. Passo 6: Multiplique as quantidades pelo princípio multiplicativo: 9 x 9 x 8 x 7 = 4536. Passo 7: Confira com a outra forma de pensar: 9 opções para o primeiro dígito x (9 x 8 x 7) para os três restantes escolhidos entre os 9 dígitos que sobram, o que dá 9 x 504 = 4536. Passo 8: Conclusão: o total de senhas válidas é 4536, alternativa A, que confere com o gabarito oficial. Por que as outras estão erradas: B (6561) seria 9^4, que permite repetição e exclui o zero em todas as posições, o que não está no enunciado; C (3024) seria 9 x 8 x 7 x 6, que exclui o zero também do primeiro dígito de forma indevida e ignora que o zero pode aparecer nas demais posições; D (5040) seria 10 x 9 x 8 x 7, que respeita a não repetição, mas esquece a proibição de o primeiro dígito ser zero; E (10000) seria 10^4, que ignora as duas restrições do enunciado.
💡 Dica: Calcule as permutações considerando as restrições do problema.
Alternativa por alternativa
Como o primeiro dígito tem 9 opções (1–9) e os demais escolhem-se sem repetição entre os 9 dígitos restantes: 9×9×8×7=4536.
O aluno aplicou a regra de 9 opções a todas as posições, como se o zero fosse proibido em qualquer dígito, e ignorou a proibição de repetição, calculando 9^4.
O aluno tirou o zero do conjunto de dígitos para todas as posições e contou arranjos sem repetição de 9 dígitos em 4 posições, como 9 x 8 x 7 x 6. Ele não percebeu que o zero só é proibido no primeiro dígito.
O aluno calculou 10 x 9 x 8 x 7, usando a não repetição corretamente, mas não aplicou a restrição de que o primeiro dígito não pode ser zero.
Por que engana: O aluno pode esquecer a restrição do primeiro dígito não ser zero ou contar repetições indevidas.
O aluno pensou que um cadeado de 4 dígitos tem 10 opções por posição, como se qualquer combinação fosse válida, ignorando a regra de não repetição e a restrição do primeiro dígito.
Raio-X da questão
permutações sem repetição
avaliacao
princípio multiplicativo · permutações simples
Estude permutações e regras de contagem com restrições.
O aluno pode esquecer a restrição do primeiro dígito não ser zero ou contar repetições indevidas.
tomada_decisao
cotidiano
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🔎 Resolver outra questão
Cole o enunciado e veja a resolução passo a passo, a alternativa correta e por que as outras estão erradas.
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