Em um estudo de padrões numéricos, uma equipe registrou a tabela: para n = 1, 2, 3, 4 e 5, os valores…

Questão

Em um estudo de padrões numéricos, uma equipe registrou a tabela: para n = 1, 2, 3, 4 e 5, os valores correspondentes de a_n são 3, 8, 15, 24 e 35. Uma estudante propôs a expressão a_n = n² + 2n. Ao revisar a proposta, outro estudante afirmou: “A expressão n(n + 2) é equivalente a n² + 2n; como ambas reproduzem os cinco valores da tabela, fica provado que essa é a única regra possível para a sequência.” Qual avaliação da afirmação do estudante é matematicamente adequada?

1. A) As expressões são equivalentes para todo n, e geram os valores da tabela; porém, os cinco termos observados não provam que essa seja a única regra possível para a sequência.
2. B) A expressão n² + 2n reproduz os valores registrados, mas n(n + 2) não; nessa forma, a multiplicação deve ser realizada antes da soma, alterando os resultados.
3. C) As expressões não são equivalentes, pois n(n + 2) e n² + 2n representam operações diferentes; assim, a tabela não permite validar as duas formas como a mesma regra.
4. D) As expressões são equivalentes e reproduzem os valores registrados; como há cinco termos confirmados, a tabela prova que essa é a única regra possível para a sequência.
5. E) As expressões são equivalentes somente nos índices apresentados; para outros valores de n, a forma fatorada e a forma desenvolvida podem produzir termos diferentes.

✅ Resposta correta: alternativa A

Resolução passo a passo

1. Verifique a tabela substituindo n em n² + 2n: para n = 1, 1 + 2 = 3; n = 2, 4 + 4 = 8; n = 3, 9 + 6 = 15; n = 4, 16 + 8 = 24; n = 5, 25 + 10 = 35. Todos os valores coincidem com a tabela. Passo 2: Verifique a equivalência: pela propriedade distributiva, n(n + 2) = n·n + n·2 = n² + 2n. Essa igualdade vale para qualquer número n, e não apenas para os índices da tabela. Passo 3: Analise a conclusão do estudante. Cinco valores coincidentes não provam que a regra é única, porque infinitas expressões diferentes podem gerar os mesmos cinco termos iniciais. Por exemplo, somar a n² + 2n o termo (n - 1)(n - 2)(n - 3)(n - 4)(n - 5), que vale zero para n de 1 a 5, mantém os cinco valores da tabela, mas muda o sexto termo. Passo 4: Logo, a afirmação de equivalência está correta, mas a afirmação de unicidade não está. A alternativa A é a adequada, o que confirma o gabarito oficial. Passo 5: Por que as outras estão erradas: na B, n(n + 2) gera os mesmos valores, pois os parênteses indicam que a multiplicação é feita antes da soma, e a alternativa afirma o contrário; na C, as duas formas são apenas escritas diferentes da mesma expressão, portanto são equivalentes; na D, confunde-se reproduzir valores de uma amostra finita com provar uma regra única; na E, a equivalência vale para todo n, e não apenas para os índices da tabela.

💡 Dica: Expanda n(n + 2) e pergunte se cinco valores determinam todas as regras possíveis.

Alternativa por alternativa

Raio-X da questão

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