Você já reparou em como as luminárias se organizam em cada arco de um túnel iluminado durante a festa da…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Reconhecer se duas expressões algébricas obtidas para descrever a regularidade de uma mesma sequência numérica são ou não equivalentes.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Você já reparou em como as luminárias se organizam em cada arco de um túnel iluminado durante a festa da cidade? Observou-se que o primeiro arco recebe 5 luminárias, o segundo arco recebe 9, o terceiro recebe 13 e assim sucessivamente. Para descrever quantas luminárias aparecem no n-ésimo arco dessa sequência, uma aluna sugeriu a expressão a_n = 5 + 4(n – 1) e um colega propôs a fórmula a_n = 4n + 1. Esses dois modelos procuram captar a mesma regularidade numérica. Analise as expressões algébricas apresentadas para descrever a sequência de luminárias e indique se elas são equivalentes para todo n natural.
- A) As expressões 5 + 4(n – 1) e 4n + 1 são equivalentes para todo n natural.
- B) As expressões 5 + 4(n – 1) e 4n + 1 não são equivalentes porque apresentam valores diferentes para n = 2.
- C) As expressões 5 + 4(n – 1) e 4n + 1 são equivalentes apenas quando n é par.
- D) As expressões 5 + 4(n – 1) e 4n + 1 são equivalentes apenas para n = 1.
- E) As expressões 5 + 4(n – 1) e 4n + 1 não são equivalentes porque ignoram o termo inicial da sequência.
✅ Resposta correta: alternativa A
Resolução passo a passo
- Desenvolva a primeira expressão aplicando a distributiva: 5 + 4(n - 1) = 5 + 4n - 4. Passo 2: Some os termos semelhantes: 5 - 4 = 1, logo a expressão fica 4n + 1. Passo 3: Como 5 + 4(n - 1) se transforma em 4n + 1 por manipulação algébrica válida para qualquer número n, as duas expressões são equivalentes para todo n natural. Passo 4: Confira com valores concretos: para n = 1, ambas dão 5; para n = 2, ambas dão 9; para n = 3, ambas dão 13, que correspondem à sequência 5, 9, 13 do enunciado. Passo 5: Por que as outras estão erradas. A alternativa B afirma que os valores diferem para n = 2, mas ambas dão 9. A alternativa C limita a equivalência aos pares, o que não procede, pois a identidade é algébrica e vale para qualquer n. A alternativa D restringe a equivalência ao caso n = 1, quando na verdade ela vale sempre. A alternativa E diz que 4n + 1 ignora o termo inicial, mas essa fórmula produz exatamente 5 quando n = 1. Conclusão: a alternativa A é a correta e coincide com o gabarito oficial.
💡 Dica: Compare as expressões substituindo valores de n para verificar equivalência.
Alternativa por alternativa
Distribuindo 4(n – 1) obtém-se 4n – 4, e 5 + (4n – 4) = 4n + 1, igual à segunda expressão para todo n.
O aluno calcula os dois modelos para n = 2 de forma errada ou compara apenas um valor isolado, concluindo que houve diferença. Na verdade, ambas as expressões resultam em 9.
Por que engana: Confundir equivalência de expressões por não testar valores suficientes de n ou interpretar incorretamente os termos.
O aluno percebe que as duas fórmulas coincidem em alguns valores e generaliza a ideia de que a equivalência depende da paridade de n, sem verificar a identidade algébrica.
O aluno testa apenas o primeiro termo, n = 1, onde ambas dão 5, e conclui que a equivalência vale só nesse caso, sem testar outros valores ou desenvolver a expressão.
O aluno acredita que a fórmula 4n + 1 não contém o termo inicial 5 da sequência, sem perceber que o termo 5 surge quando n = 1 nessa fórmula.
Raio-X da questão
sequência aritmética, equivalência algébrica
avaliacao
progressão aritmética básica · equivalência de expressões algébricas
Estude progressões aritméticas e equivalência de expressões algébricas.
Confundir equivalência de expressões por não testar valores suficientes de n ou interpretar incorretamente os termos.
pensamento_critico
cotidiano
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