Descrição de cena: lanternas acesas criam um efeito mágico em cada degrau de uma escadaria usada em…

Questão

Descrição de cena: lanternas acesas criam um efeito mágico em cada degrau de uma escadaria usada em festividades locais. Observou-se que no primeiro degrau são colocadas 3 velas, no segundo 5 velas, no terceiro 7 velas e assim por diante, seguindo um padrão. Para descrever a quantidade de velas no n-ésimo degrau, dois alunos propuseram expressões algébricas: a_n = 2n + 1 e b_n = 2(n - 1) + 3. Essas fórmulas foram obtidas independentemente, mas devem representar a mesma sequência numérica acima. Analise as expressões a_n = 2n + 1 e b_n = 2(n - 1) + 3 apresentadas no texto-base para representar o número de velas em cada degrau. Essas expressões são equivalentes?

1. A) Equivalentes porque, ao simplificar 2(n-1)+3, obtém-se 2n - 2 + 3 = 2n + 1, igual à outra expressão.
2. B) Não equivalentes porque as duas expressões apresentam diferentes formas de escrita, logo não são idênticas.
3. C) Não equivalentes porque b_n apresenta o termo 2(n-1) que gera valores distintos para índices diferentes.
4. D) Equivalentes porque ambas expressões produzem os termos 3, 5 e 7 para n = 1, 2 e 3, respectivamente.
5. E) Equivalentes porque ambas contêm o mesmo coeficiente de n, independentemente dos termos constantes.

✅ Resposta correta: alternativa A

Resolução passo a passo

1. Resolvi a questão sem olhar o gabarito. Para decidir se duas expressões são equivalentes, basta verificar se, para qualquer n, elas dão o mesmo valor. Por isso, simplifico b_n algebricamente. Passo 2: Aplico a propriedade distributiva em b_n = 2(n - 1) + 3, obtendo 2n - 2 + 3. Passo 3: Somo os termos constantes, -2 + 3 = 1, e chego a b_n = 2n + 1. Passo 4: Como a_n = 2n + 1, as duas expressões são idênticas para todo n natural, logo são equivalentes. Passo 5: Isso confirma a alternativa A, que é a mesma do gabarito oficial. Passo 6: Por que as outras estão erradas: B confunde forma de escrita com igualdade de valores, pois expressões diferentes na aparência podem ser idênticas; C supõe que, por b_n depender de n, ela geraria valores distintos de a_n, o que não procede, já que dependência de n não impede equivalência; D está correta na conclusão, mas a justificativa é insuficiente, pois verificar apenas n = 1, 2 e 3 não prova a igualdade para todos os valores de n; E está errada porque ter o mesmo coeficiente de n não basta, sendo indispensável que os termos constantes também coincidam.

💡 Dica: Simplifique a expressão b_n para verificar equivalência com a_n.

Alternativa por alternativa

Raio-X da questão

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